Produit scalaire

                REVISION :PRODUIT SCALAIRE

Exercice 1 : Produit scalaire avec cosinus

ABCD est un rectangle tel que AB=4 et AD= 2.

AED est un triangle équilatéral siyué à l’intérieur de ABCD.

1. Calculer le produit scalaire [pic 1]
2. Calculer  [pic 2]

Réponse : a) 2      b) [pic 3]

Exercice 2 :Calcul avec le projeté

ABC est triangle isocéle en C tel que AB=4 et AC=3. I milieu de AB. Calculer  [pic 4]

Réponse : 8

Exercice 3 : Refaire Exercice 2 avec AB=5 et AC=6 .

Calculer      et  [pic 5][pic 6]

Réponse :  12,5  et   29,75

Exercice 3 : Utilisation de la relation de Chasles

ABCD est un trapéze avec des angles droits en A et D. AD=2  AB=5 et DC =3

Calculer        [pic 7]

Réponse : 11   ( AC=AD+DA     et DB=DA + AB  )

Exercice 4 : Dans un repére orthonormé on donne les points A( 1 ;2)  B( 2 ;3) et C( 4 ;1).

1. Calculer  [pic 8]
2. Calculer angle A.

Réponse : a) 2         A=63,4

Exercice 5 : ABCD est un rectangle tel que AB= et AD=1 , E est le milieu de AB. Les droites (ED) et (AC) sont –«elles perpendiculaires.[pic 9]

Réponse : Oui . Produit scalaire ( ED=EA + AD  et AC=AB +BC)

Exercice 6 : ABC est triangle isocéle en A et D milieu de BC.

1. Demontrer que  [pic 10]
2. En déduire que [pic 11]
3. On donne AB=3 et BC=4. Calculer angle A

Réponse A=[pic 12]

Exercice 7 : ABCD est un carré de coté 4.Soient E et F tels que .  Calculer  et conclure.[pic 13][pic 14]

Par deux methodes : Relation de Chasle ou répere orthonormé.

Réponse : Perpendiculaires.

Exercice 8 : ABC est un triangle tel que AB=4 et AC=3 et angle A=135. M le milieu de AC et P est le point défini par :

[pic 15]

1. En notant que , calculer [pic 16][pic 17]
2. En deduire la longueur MP

Réponse : 17,61      4,2

Exercice 9 : Soient deux vecteurs  et  tels que [pic 18][pic 19][pic 20]

 .  =9[pic 21][pic 22]

Calculer a) [pic 23]

Réponse : 71      -730

Exercice 10 :On modèlise le parcours d’une régate par le triangle ABC tel que AB=2000 m    BC=1000 angle B=105.

  Le parcours est le suivant : AB   BC    CA   avec angle C=[pic 24]

1. Determiner la longueur totale du parcours
2. Calculer  que doit prendre le skipper pour revenir au point A.[pic 25]

Réponse : AC=2457 m     Longueur totale=5457 m  et [pic 26]

Exercice 11 : Soient deux points distincts  A et B et I milieu de AB.

a)Montrer que [pic 27]

b) Sachant que AB= 2 cm Determiner l’ensemble des points M du plan tels que :  [pic 28]

Reponse : Cercle de rayon 3 cm

Exercice 12 : ABC est un triangle et K es le milieu de BC.

1. Demontrer que [pic 29]
2. On suppose que AB=2,5 cm , AC=4 cm et BC = 6 cm. Calculer la longueur AK.  Reponse : AK= 1,46 cm

Exercice 13 :Dans un repère orthonormé on considère les points suivants  A(3,2) B(0,5) et C(-2,-1)

1. Calculer les normes des vecteurs AB, AC et BC

2) Calculer les produits scalaires de AB.AC, BC.BA et CA.CB
3) Calculer une mesure des angles BAC et ACB.
4) H est le projeté de B sur AC .Calculer AH et CH.

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