Fonction polynôme de degré

 sur

FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2

Chapitre 1/2

Partie 1 : Définition

Exemples et contre-exemples :[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

                           sont des fonctions polynômes de degré 2.[pic 4]

               [pic 5]

                          est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine).[pic 6]

    est une fonction polynôme de degré 4.[pic 7]

Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction  définie sur  par une expression de la forme :[pic 8][pic 9]

                                [pic 10]

où les coefficients ,  et  sont des réels donnés avec .[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

Définition : Les fonctions polynômes de degré 2 étudiées cette année sont définies sur  par  ou , avec .[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

Remarque :

Une fonction polynôme du second degré s'appelle également « trinôme ».

Partie 2 : Représentation graphique

[pic 19]

        1) La parabole

Exemple :

La représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 s’appelle une parabole.

Propriétés :

Soit  une fonction polynôme du second degré, telle que .[pic 20][pic 21]

- Si  est positif,  est d’abord décroissante, puis croissante : « 😊 ».[pic 22][pic 23]

- Si  est négatif,  est d’abord croissante, puis décroissante : « ☹️ ».[pic 24][pic 25]

                                                        [pic 26][pic 27]

[pic 28]                  [pic 29]

[pic 30]

2) Axe de symétrie

[pic 31]

Exemple : 

La fonction  telle que  a pour représentation graphique une parabole dont les branches sont tournées vers le bas et dont le sommet est le point . L’axe de symétrie de la parabole est l’axe des ordonnées.[pic 32][pic 33][pic 34]

Propriété : Les paraboles d’équation  ont pour axe de symétrie l’axe des ordonnées et pour sommet le point de coordonnées (0 ; ). [pic 35][pic 36]

Méthode : Associer une fonction du second degré à sa représentation graphique

[pic 37] Vidéo https://youtu.be/hRadBik3zRk

Associer chaque fonction à sa représentation graphique :

[pic 38]

[pic 39]

Correction

• La parabole rouge est la seule dont le sommet est l’origine (0 ; 0). Donc  [pic 40]

dans l’écriture de la fonction .[pic 41]

Ainsi, la parabole rouge est la fonction  définie par .[pic 42][pic 43]

• La parabole verte et la parabole noire ont toutes les deux pour sommet le point

de coordonnées (0 ; 3).

Donc  dans l’écriture de la fonction .[pic 44][pic 45]

...