Fonction polynôme de degrés 2

Evaluation bilan : fonction polynôme  de  degré 2 :

Exercice 1 :      QCM     6 points

Pour chacune  des  questions , quatre affirmations sont proposées.

Pour une même question , plusieurs affirmations peuvent convenir.

Entourer la ou les affirmations qui vous semblent convenir.

Question 1 :

Le polynôme  de  degré 2   :     2x² -7x +5   admet comme discriminant le réel :

1.   -59                    b)  -89                                   c)   3.5                                d)  9

Question 2 :

La fonction polynôme  f  de  degré  2 admet comme   écriture :    f(x) = -3 (x-7) (x+10)

Dans  ce  cas :

1. Ses racines   sont  7 et 10
2. f admet un maximum
3. Ses racines   sont 7 et -10
4. Le sommet de  sa représentation graphique  a pour coordonnées :  S ( 7 ; 10)

Question 3 :

Le polynôme  de  degré 2 :     0.2x² + 2.4x +7.2   admet :

1. Aucune racine      b) une racine       c) deux racines      d)   on ne peut pas savoir

Question 4 :

La fonction polynôme  g  de  degré 2  admet comme   écriture : g(x) = 3x² -18x +7

Dans  ce  cas :

1. Sa valeur minimale  est   h(3)
2. Sa valeur minimale  est 3
3. Sa valeur minimale  est  7
4. g admet une valeur maximale

question 5 :

j est une fonction polynôme  de  degré 2    admettant un maximum et dont le sommet de la représentation graphique  est  le point   S ( 4 ; 15) ; la  ou les  écritures possibles  de j  est ou sont :

1. -0.5 (x-4)² +15         b)  -0.5 (x-4) (x-15)            c)   5 (x-4)² +15                         d)   -0.5x² +4x  +7 

Exercice 2 : 8 points

On considère la fonction  h de  degré 2 dont   deux  écritures sont :

-0.5t²+2t+6              et                   -0.5( t-2)² +8

 Partie 1 :

1. a) Déterminer les racines  de h

 = 16    x1 =  = -2    et   x2 =    = 6[pic 1][pic 2][pic 3]

      b)En déduire une  écriture factorisée  de h

h(t) = a (x-x1) (x-x2) = -0.5 (x-(-2)) (x-6) =  -0.5 (x+2) (x-6)2)

2) Résoudre   h(t) > 6

-0.5t² +2t + 6+ > 6   équivalent  à   -0.5t² +2t+6-6 > 0   soit   -0.5t² +2t > 0

Or  -0.5t+2t = t ( -0.5t +2)       donc les  deux racines   sont   t= 0  et  t = 4

Comme   a < 0    les   solutions  sont ] 0 ; 4[

Partie 2 :

La fonction h de la partie 1  décrit la trajectoire d’une balle lancée par Ewan depuis un balcon.

      t représente le temps écoulé  en secondes   depuis le lâcher de la balle .

     h(t) représente la hauteur en mètres de la balle.

     L’enfant lâche la balle   au temps  t=0

     L’axe  des  abscisses se situe au niveau du sol  du parking qui se situe  en bas de l’immeuble.

En précisant si vous utilisez l’écriture développée ; factorisée ou la forme canonique  et à l’aide des résultats de  la partie 1  ;    répondez aux questions  suivantes :

1. De quelle  hauteur est lancée  la balle ?

L’enfant lâche la balle   en t = 0  or h(0) = 6

L’enfant lâche la balle d’une hauteur de 6 mètres

1. Le but du lancer est d’envoyer la balle  à un ami se trouvant sur un balcon situé à une hauteur de 9 mètres. Le lancer va-t-il être réussi ?

La forme canonique nous indique que la valeur maximale  est  8

La balle ne pourra donc pas  atteindre une hauteur de 9 mètres.

      3)Pendant combien de temps la balle se trouvera au dessus de la position d’Ewan ?

Comme Ewann se trouve à une hauteur de 6 mètres , il faut résoudre   h(t) >6

Or d’après la partie  1 ; on sait que l’ensemble  des   solutions  est |0 ; 4[

La balle  sera plus « haut » qu’ewann durant 4 secondes.

4)Si la balle  n’est pas interceptée , au bout de combien de temps retombera t-elle au sol sur le parking ?

Le  sol du parking estl’axe des  anscisses , il faut donc résoudre   h(x) = 0

Ce sont donc les racines que l’on cherche , d’après la partie 1 : x1 = -2  et x2 = 6

Il faudra donc attendre  6 secondes.

Exercice 3 :  6 points

1. Considérons une fonction k  vérifiant  k(x) = -2x² + 5x +18

Déterminer le tableau de signes  de k

 = 169    x1 =   = -2     et  x2 =   = 4.5[pic 4][pic 5][pic 6]

a=-2 < 0

        2)Considérons une  fonction j vérifiant   [pic 9]

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