Comment les mathématiques ont-elles dompté l'infini ?

Comment les mathématique ont elles dompté l’infini

- C’est la bien la question que nous pose un enfant qui apprend à compter «... et après?»

- Et après, les nombres 24,25,26... 100,200... il se suivent pour être dépassés par des plus grands (millions, milliards, ...) qui se voient à leur tour s’échapper devant eux de très grands nombres ( centillions, googolplex, ...) , suite qui continue vers on ne sait où, et ce «on ne sait où», à été nommer : l’infini.

1/ Peut-on trouver l’infini

-Une notion mathématique des plus abstraites qui ne parait pas si simple à définir et dont on peut même remettre en doute l’existence.

-L’infini ne nous est pas accessible et ne fait pas partie du monde réel. Aristote parlait d’un infini potentielle au sens d’une éventualité utopique impossible à réaliser.

-Alors qu’est ce qu’un infini? Car il en existe plusieurs, nous le verrons ensuite.

-Le plus simple serait de le définir comme tout ce qui n’est pas fini. Par exemple les diviseurs de 12 sont en nombre fini (1,2,3,4,6 et 12), par contre ses multiples sont en nombres infini ( 12,24,36, ...)

-Dans ce cas , il n’est pas étonnant d’entendre souvent que l’univers est infini. Comment pourrait-on concevoir qu’il soit fini. Et pourtant les physiciens s’opposent majoritairement a cette idée.

-Alors si même l’univers n’est pas infini, ou peut-on trouver l’infini?

-Nulle part, semblerait-il! Et comme l’écrit Christian Magnan, on peut lui attribuer qu’un statut mathématique. Voila quelque ressemblance avec le zéro longtemps nié et réfusé car lui non plus ne trouvait pas de représentation dans le monde réel.

-D’autant plus que ces deux nombres sont mathématiquement liés, puisqu’en divisant par zéro, on obtient l’infini

-L’infini n’a pas été accepté facilement, et on a longtemps espéré pouvoir s’en passer. Aristote refusait l’infini, il déniait toute existence physique à l’infini mais lui reconnaissait une certaine existence mathématique, car il lui semblait nécessaires d’envisager des grandeurs de plus en plus élevées.

2/Le nombre de Graham.

-Très jeune, on a souvent tendance à vouloir connaitre la nombre le plus grand sans que la réponse soit l'infinie. Le nombre de Graham est le plus grand nombre utilisé dans une démonstration mathématique.On peut donc supposer qu'il soit la plus grande valeur utilisée sérieusement. Cette valeur est incommensurable, aucun mot ne peut décrire son immensité.                          

-Rapprochons nous de l'infini en évoquant le gogol, sa valeur est de 10100...une valeur plus importante que le nombre d'atomes présent dans l'univers observable estimé à 1080. Un gogol n'est rien comparé à un gogolplex.

-Un gogolplex est 10^gogol, il est donc totalement impossible de l'écrire en nombre décimal vu qu'il y a plus de zéro dans un gogolplex que d'atomes dans l'univers. On s'approche petit à petit du nombre de Graham mais la route est encore longue. Il est nécessaire de connaitre la puissance itérée de Knuth pour se rendre compte de l'immensité du nombre de Graham, car les symboles mathématiques classiques ne permettent pas son écriture.

-Donald knuth a donc inventé un nouveau symbole: la flèche. Une valeur « a » suivie d'une flèche vers le haut et d'une autre valeur « b » se comprend par « a» puissance «b ». Il est aussi possible d'accumuler ces flèches: une valeur «a» suivie de deux flèches et d'une valeur « b » se traduit par «a », flèche, « a», flèche, «a», «b » fois. Donc « a» puissance «a » puissance « a », b fais.

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