Variations des fonctions et extrêmes

1/Variations des fonctions et extrêmes

Définition :

On considère une fonction f définie sur l'intervalle D.

. On dit f est croissante sur D lorsque, pour tous réels a  et b de D tels que à inférieure ou égale à b, on a f(a) inférieure ou égale à f(b).

. On dit que f est décroissante sur D lorsque, pour tous réels a  et b de D tels que a inférieure ou égale à b, on a f(a) supérieure ou égale à f(b)

Remarque :

Cette notion est un attendu de fin d’année ; la définition sera exploitée dans les chapitres concernant les fonctions

2/ tableau de variation

On illustre le sens de variation d'une fonction h dans un tableau appelé tableau de variviation. Un tableau de variation indiqué

. Si la fonction est croissante

. Si la fonction est décroissante

Étudier les variations d'une fonction c'est chercher sur quel(s) intervalle(s) elles est croissante ou décroissante. On résume ces résultats dans le tableau de variation de la fonction.

3/ Maximum et minimum d'une fonction

Définition :

Le maximum d'une fonction f sur un intervalle [a

;b] est, s'il existe, la plus grande valeur  f(x), pour tout réels x appartenant à l'intervalle [a;b].

[pic 1]

Premier tableau :

On dit que f(alpha) est le maximum de f sur [a ;b] et qu'il est atteint en alpha

Deuxième tableau :

On dit que f(alpha) est le minimum de f sur [a;b]

Méthode :

Pour résoudre graphiquement l’équation f(x)=k :

On place l'axe des ordonnées le réel k ;

On place tous les points de la courbe Cf d’ordonnée k ;

On lit leurs abscisses en respectant les conventions graphique.

Important :

L'ensemble des solutions se note {a ;b}

Méthode :

Pour résoudre graphiquement f(x)

• On place sur l'axe des ordonnées le réel k ;
• On s’intéresse à tous les points de la courbe Cf d'ordonnée strictement inférieure à k
• On lit les abscisses de tous ces points : la lecture se fait sur l'axe des abscisses ;

On répond en utilisant l’écriture des intervalles (on garde à l'esprit que les valeurs sont lues et donc approchées)

Pour f(x)a  ou strictement supérieurs à b. On note ]- l'infini ;a[ U]b ;2] qui se lit ]-l'infini ;a[ « union »]b ;2].

Pour résoudre f(x)>k, on procède de la même façon en s’intéressant aux abscisses de tous les points de la courbe Cf d’ordonnée strictement supérieure à k. L'ensemble des solutions est ]a ;b[.

P

...