Mathèmatique

Devoir 2

Question 1 :

Intérêt réel = {(1 + i)m} − 1

Intérêt = {1 + (9%/4 trim.)}4 − 1 = 0,0930833

Le résultat est un taux d’intérêt réel de 9,31%

Question 2 :

La formule pour calculer le taux nominal est :

i = {(1 + r)}1/m − 1} x m

Ou

«r» est le taux d’intérêt réel (effectif)

«i» taux périodique [pic 1]

«m» Nombre de capitalisation par année

Ainsi nous avons,

i = {(1 + r)}1/m − 1} x m

i = {(1 + 12%)}1/12 − 1} x 12

i = 0,113865515

Le résultat écrit sous forme de pourcentage est   11,39%

Question 3 :

La formule stipule que :

S = P (1 + i)n

Ou

«S» Somme finale

«P»  capital initial

«i» taux d’intérêt périodique

«n» Nombre de périodes pour toute la durée du contrat

S = P (1 + i)n    étant donné que nous recherchons à tripler le capital initial nous remplacerons P par le tiers de S puisque nous désirons tripler cette somme et la formule devient

S = 1/3(S) x (1 + i)n   

S ÷ (1/3)S  = (1 + i)n   

3 = (1 + i)2

(3)1/2 = (1 + i)2(1/2)

1,732050808 =1 + i

1,732050808 − 1 = i

0,732050808 = i

Le résultat écrit sous forme de pourcentage est   73,20%

Question 4 : 

Selon la formule

i = (S ÷ P)(1/n) − 1

i = (5 078,94 $÷ 4 000 $)(1/24) − 1

i = (1,269735)(1/24) − 1

i = 1,010000012 − 1

i = 0,010000012

Nous obtenons 0,010000012 mensuel ou 12% capitalisé mensuellement. Comparons ce taux au taux réel auquel la banque offre de nous accordé le prêt de 4 000 $.

r = {(1 + i )m} – 1

r = {(1 + 11% ÷ 2)2} – 1 = 11,30%

le taux réel qu’offre la banque est de 11,30% alors que celui du commerçant est de 12%.

Le vendeur nous propose de nous faire payer 5 078,94 $ au bout de ans, comparons cette sommes à celle que propose la banque.

S= P (1  + i )n

La banque offre une capitalisation est semestrielle; donc le taux périodique sera la moitié du taux nominal (0,11 ÷ 2 semestres), et le nombre de périodes sera 4 (2 ans x 2 semestres par année)

S = 4 000 (1 + (0,11 ÷ 2))2x2

S = 4 000 (1,055)2x2

S= 4 955,30 $

Si on compare les deux montants, soit 4 955,30 $ à rembourser à la banque contre 5 078,94 $ à rembourser au bout de deux ans au commerçant nous pouvons conclure qu’il est préférable d’obtenir le prêt de la banque car nous économisons (5 078,94 $ - 4 955,30 $) 123,64 $ à la fin des deux ans de prêt.

En résumer que l’on compare les eux prêt selon les taux d’emprunts ou les montants à rembourser on en arrive à la même conclusion l’offre de la banque est plus avantageuse pour nous.

Question 5 : 

Pour résoudre ce problème, nous devons transformer les données fournies en équation mathématiques.

Ainsi :

Notre ami désir donner la somme de 2 000 $ à ses filleuls, devient

P1 + P2 = 2 000 $

Et il souhaite que ceux-ci reçoivent les montants pour leur 18e anniversaire, alors qu’ils sont agés respectivement de quatre et six ans. Ainsi l’un des enfants recevra l’argent dans 14 ans et l’autre dans 12 ans. Sachant que le taux d’intérêt est de 10% capitalisé annuellement, nous pouvons traduire tous cela en l’équation suivante :

S = P1 (1 + 10%)12

S = P2 (1 + 10%)14

Comme les deux «S» sont égaux, on peut dire que

P1 (1 + 10%)12= P2 (1 + 10%)14

Nous avons deux équations à deux inconnues, P1 et P2 .

Équation 1 : P1 + P2 = 2 000 $

Équation 2 : P1 (1 + 10%)12 = P2 (1 + 10%)14

Il est impossible de résoudre une équation à deux inconnues. Nous devons donc isoler une des deux inconnues. (Isolons le «P1».)

Nous obtenons :

Équation 1 : P1 = 2 000 $ − P2

Équation 2 : P1 = P2 {(1 + 10%)14 ÷ (1 + 10%)12}

Comme les deux valeurs «P1» sont égaux, on peut dire que les deux parties de droite des deux équations s’égalent.

...