Les Fonctions exponentielles

Rappel de cours :

• Soit a > 0

• Les fonctions sont appelées fonctions exponentielles de base a. Elles sont définies et dérivables sur .

L’allure des courbes diffère selon que 0 < a < 1 ou a > 1.

Si 0 < a < 1, les fonctions sont strictement décroissantes sur .

Si a > 1, les fonctions sont strictement croissantes sur .

• Les fonctions exponentielles sont convexes sur .

• Les fonctions exponentielles transforment les sommes en produits.

Pour tous réels x et y : ax+y = ax ay.

• Pour tout x réel : .

• Si , la fonction exponentielle de base a prend les mêmes valeurs que la suite géométrique de raison a et de premier terme 1. C’est pourquoi on dit parfois que des termes en progression géométrique ont une croissance (ou une décroissance) exponentielle.

• Simplifier une expression :

Les règles de calcul algébrique sont les mêmes que celles concernant les puissances.

Simplifier l’expression 4 x+ 2 × 23x – 1.

Solution

.

Attention à ne pas inventer de règle de calcul : .

En revanche, pour tout x réel : .• Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. On dit que f est convexe (resp. concave) sur I lorsque sa courbe est entièrement située au-dessus (resp. au-dessous) de chacune de ses tangentes.

Fonction convexe

Fonction concave

• Si f est convexe sur I, alors – f est concave sur I.

• f est convexe sur I si, et seulement si, f′ est croissante sur I.

• Si f est deux fois dérivable sur I, alors f est convexe sur I si, et seulement si, pour tout , f″(x) ≥ 0 .

On dit que f admet un point d’inflexion en a si f change de concavité en a, soit si f′ change de sens de variation en a. Montrer qu’une fonction est convexe exemple :

On montre que f′ est strictement croissante sur un intervalle (attention : ne pas confondre avec strictement positive). Une possibilité est de calculer la dérivée seconde f″ (la dérivée de la dérivée) et de montrer que celle-ci est positive.

Soit f définie sur ]2 ; + ∞[ par : f(x) = . Montrer que f est convexe. Après calculs, on obtient :

f′(x) = , puis f″(x) = .

Puisque f″ est strictement positive sur ]2 ; + ∞[, f′ est strictement croissante sur ]2 ; + ∞[, ce qui signifie que f est convexe sur ]2 ; + ∞[. Caractériser un point d’inflexion exemple : Graphiquement, un point d’inflexion se reconnaît en observant un changement de concavité : la fonction est convexe puis concave, ou concave puis convexe. On peut aussi observer qu’en un point d’inflexion, la courbe traverse sa tangente.

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