Equations différentielles

Équations différentielles

I-Notion d'équation différentielle

Définition : une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, notée y.

Exemple :

A) l'équation f'(x) = 5 peut se noter y' = 5 en considérant que y est une fonction inconnue qui dépend de x.

Dans ce cas, une solution de cette équation est y= 5x. En effet, (5x)' = 5.

b) Une solution de l'équation y' = 2x est y = x2

Pour une équation différentielle, la solution n'est habituellement pas unique.

Par exemple y = x2 +1 est une autre solution de l'équation différentielle.

En effet, ( x2 +1)' = 2x.

Exemple : Vérifier qu'une fonction est une solution d'une équation différentielle

Prouver que la fonction g définie sur ]0 ; +inf[ par g(x) = 3x2 + ln x est une solution de l'équation différentielle y'.

II- Équations différentielles du type y' = ay

Propriété : Les solutions de l’équation différentielle y' = ay, sont les fonctions de la forme Ceax, ou C est une constante réelle quelconque.

Méthode : Résoudre une équation différentielle du type y' =ay

On considère l'équation différentielle 3y' + 5y = 0

1)a) Déterminer la forme générale des solutions de l'équation.

b) Représenter à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel internet, quelques courbes des fonctions solutions vu précédemment.

2) Déterminer l'unique solution telle que y(1) = 2

Propriéte : les solutions de l'équation differentielle y' = ay+b (a et b deux réels, a non nul) sont les fonctions de la forme :

x->u(x)+v(x)

ou u est la solution particuliere constante de l'équation y' = ay + b

et v est une solution quelconque de l'équation y' = ay

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