Equations différentielles linéaires

Equations différentielles linéaires

K désigne R ou C. I désigne un intervalle non singulier de R .

Une équation différentielle d’ordre n en la fonction inconnue x ֏y(x) est une égalité E engageant x,y,y′,...,y(n).UnesolutionsurI decetteéquationdifférentielleestunefonctionx֏y(x),n foisdérivable,

telle que pour tout x ∈I , l’égalité E soit vérifiée pourx,y(x),y′(x),...,y(n) (x). On ne sait résoudre qu’assez peu d’équation différentielle parmi lesquelles les suivantes.

I. Equation linéaire du premier ordre

1°) Définition Déf : On appelle équation différentielle linéaire d’ordre 1 définie sur I toute équation différentielle E de la

forme:y′+a(x)y=b(x) aveca,b:I→K continues. On appelle équation homogène (ou équation sans second membre) associée à E l’équation notée E0 (ou

ESSM ): y′+a(x)y=0. Lorsque la fonction a est constante, on parle d’équation à coefficient constant.

Théorème :

Soit a,b:I →K continues, x0 ∈I et y0 ∈K. Il existe une unique solution sur I à l’équation différentielle y′+a(x)y =b(x) vérifiant la condition initiale y(x0)=y0 .

2°) Démarche de résolution Prop:Soita,b:I→K continueetE:y′+a(x)y=b(x).

Si y1 désigne une solution particulière de l’équation E alors les solutions de E sont les fonctions de la

forme x ֏y0 (x)+y1(x) avec y0 solution de l’équation homogène E0 :y′+a(x)y = 0 . Prop : (principe de superposition)

Soit a,b1 ,b2 : I → K continues. Si, pour i =1 et 2, yi est solution de y′+a(x)y =bi (x) alors y1 +y2 est solution particulière de y′+a(x)y =b1(x)+b2 (x).

3°) Cas des équations à coefficients constants a) résolution de l’équation homogène Déf : Soit a ∈ K et E :y′ +ay = 0 . On appelle équation caractéristique associée à E l’équation r +a = 0 . Prop : Si α est la solution de l’équation caractéristique alors les solutions de E sont les fonctions y(x) =Ceαx

avec C ∈ K . b) résolution de l’équation entière

Soita∈K etb:I→K continue.PouracheverderésoudreE:y′+ay=b(x) ilsuffitdesavoirdéterminerune solution particulière. Prop : Cas b(x)=P(x) avecP fonction polynomiale.

On peut trouver une solution particulière à l’équation E de la forme y1 (x ) = x mQ (x ) avec Q une fonction polynomiale de même degré que P et m = 0 si a ≠ 0 et m =1 sinon.

Prop : Cas b(x)=P(x)eαx avec α∈K et P une fonction polynomiale. On peut trouver, par coefficients inconnus, une solution particulière à l’équation E de la forme

y1 (x ) = x mQ (x )eαx avec Q fonction polynomiale de même degré que P et

m = 0 si α n’est pas solution de l’équation caractéristique m =1 sinon.

Prop:CasK=R,b(x)=P(x)cosωx (resp.P(x)sinωx)avecω∈RetPunefonctionpolynomialeréelle. On peut trouver une solution particulière à l’équation E en considérant la partie réelle (resp. imaginaire) d’une solution à l’équation différentielle z ′ +az = P (x )eiωx .

4°) Cas général a) résolution de l’équation homogène Théorème :

Soit a : I → K continue et A une primitive de a . L’ensemble des solutions sur I de l’équation y′+a(x)y = 0 est constitué des fonctions de la forme

x֏Ce−A(x) avecC∈K. b) résolution de l’équation entière Soita,b:I→K continuesetE:y′+a(x)y=b(x). La résolution de l’équation homogène E0 :y′+a(x)y = 0 a donné y0 (x) =Ce−A(x) . Pour achever de résoudre

E , il suffit maintenant de déterminer une solution particulière y1 (x ) . Si celle-ci n’est pas apparente, on peut la rechercher par la méthode de la variation de la constante : Oncherchey1delaformey1(x)=C(x)e−A(x) avecx֏C(x)fonctiondérivable.

y′(x)+a(x)y (x)=...=C′(x)e−A(x) . 11

y1 estsolutiondeE ssiC′(x)=b(x)eA(x) Ceci permet de déterminer C puis une fonction y1 convenable.

II. Equation linéaire du second ordre à coefficients constants 1°) Définition

DDéf :

On appelle équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants définie sur I différentielle E de la forme y ′′ +ay ′ +by = c(x ) aveca,b∈K etc:I→K␣unefonctioncontinue. On appelle équation homogène (ou équation sans second membre) associée l’équation notée E0 (ou

toute équation

ESSM ):y′′+ay′+b=0. On appelle équation caractéristique associée l’équation r 2 +ar +b = 0 d’inconnue r ∈ C .

Théorème :

Soita,b∈K,c:I→K continue,x0 ∈I ety0,y1∈K. Il existe une unique solution sur I à l’équation différentielle y ′′ +ay ′ +by = c(x ) vérifiant les conditions initiales : y(x0 ) =y0 et y′(x0 ) =y1 .

2°) Démarche de résolution Prop : Si y1 désigne une solution particulière de l’équation E : y ′′ +ay ′ +by = c(x ) alors les solutions de E

sontlesfonctionsdelaformex֏y0(x)+y1(x) avecy0 solutiondeE0 :y′′+ay′+by=0.

Pour résoudre l’équation différentielle E : y ′′ +ay ′ +by = c(x ) 0) on présente le type de l’équation 1) on résout l’équation homogène associée : y0 (x ) = ... 2) on détermine une solution particulière : y1 (x ) = ... 3)onexprimelasolutiongénérale: y(x)=y1(x)+y0(x).

Prop:Soita,b∈K etc1,c2 :I→K continues. Si, pour i =1 et 2, yi est solution de y′′+ay′+by =ci (x) alors y1 +y2 estsolutionparticulièrede y′′+py′+qy=c1(x)+c2(x).

3°)

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