L’équation

Exercice n°1. Précisez l'ensemble de définition puis résoudre les équations suivantes :

1) ln(2 + 5x) = ln(x + 6) 2) ln(x -1) + ln(x - 3) = ln 3 3) ln x = 2 4) 2(1 ln )

0

x

x

+

=

5) ( )2 ln x + ln x - 6 = 0 6) ln(2x - 5) =1 7)

1

ln 0

2 1

x

x

 -    =  - 

8)

1

ln 0

2 1

x

x

 -    =  - 

9) ln(x -1) = ln(2x -1) 10) ln( x -1 ) = ln(2x -1) 11) ln( x -1 ) = ln( 2x -1 )

Exercice n°2.

1) Développer l’expression : A(x) = (x -1)(x +1)(x - 2)

2) Résoudre les équations suivantes : (a) ln(x3 + 2) = ln(2x2 + x) . (b) ( ) ( ) ln x 3 + 2 = ln 2x2 + x

(c) ln(x3 - x2 - 3x + 3) = ln(x2 - 2x +1). (d) ln(x3 - x2 - 3x + 3) = 2ln(1- x) .

CORRECTION

Ces équations reposent sur deux règles qui traduisent la BIJECTIVITE des fonctions logarithme et exponentielle :

Soient a et b deux nombres strictement positifs. Alors ln a = lnbÛa = b

Soient a et b deux nombres quelconques. Alors ea = eb Ûa = b

On utilise, en outre, de nombreuses propriétés algébriques de ces deux fonctions

Exercice n°1

1) L’équation est définie si et seulement

] [

] [

2 2 2 5 0 ; 2 2

5 5 ; 6; ;

6 0 5 5

6 6;

x x x

x

x

x x

     + >  > -  Î- +¥      Û Û  Û Î- +¥Ç - +¥ = - +¥  + >  > -        Î - +¥

Pour tout

2

;

5

x

  Î- +¥  

, ln(2 + 5x) = ln(x + 6)Û2 + 5x = x + 6Û4x = 4 { } 2

1. Comme 1 ; , 1

5

x S

  Û = Î- +¥ =  

2) L’équation est définie si et seulement

] [

] [ ] [ ] [ ] [ 1 0 1 1;

1; 3; 3;

3 0 3 3;

x x x

x

x x x

 - >  >  Î +¥  Û Û Û Î +¥ Ç +¥ = +¥

- > > Î +¥   

Pour tout xÎ]3;+¥[ ,

( ) ( ) (( )( )) ( )

( )( ) 2 ( )

ln( 1) ln 3 ln 3 ln 1 3 ln 3 (car ln( ) ln( ) ln( ))

1 3 3 4 0 4 0 0 ou 4.

x x x x a b a b

x x x x x x x x

- + - = Û - - = + = ´

Û - - = Û - = Û - = Û = =

Mais 0Ï]3;+¥[ donc S = {4}

3) L’équation est définie ssi xÎ]0;+¥[ . ln x = 2Ûln x = 2´1Ûln x = 2´ ln eÛln x = ln (e2 )Û x = e2 . S = {e2}

4) L’équation est définie si et seulement xÎ]0;+¥[

2(1 ln )

0 1 ln 0

x

x

x

+

= Û + = car une fraction est nulle si et seulement si son numérateur l’est.

1 1 1

ln x 1 x e . S

e e

Û Û -

  = - = = =  

 

5) En posant X = ln x , l’équation devient équivalente à l’équation du second degré X 2 + X - 6 = 0 , que l’on sait

résoudre : X = 2 ou X = -3 En revenant à la variable x on a : X = 2Ûln x = 2Û x = e2 et

X = -3Ûln x = -3Û x = e-3 . Finalement, S = {e2 ;e-3}

6) L’équation est définie si et seulement

5

2 5 0 ;

2

x x

  - > Û Î +¥  

( ) 5

ln(2 5) 1 ln(2 5) ln 2 5

2

e

x x e x e x

- = Û - = Û - = Û = + . Comme

5 5

;

2 2

e +   Î +¥  

,

5

2

e

S

...