Les équations différentielle

Introduction

Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes physiques et biologiques, par exemple pour l'étude de la radioactivité ou la mécanique céleste. Par conséquent, les équations différentielles représentent un vaste champ d'étude, aussi bien en mathématiques pures qu'en mathématiques appliquées.

Soit E un espace vectoriel normé. Une équation différentielle (ordinaire) est une équation de la forme

F(x,y,y^',…,y^((n) ) )=0

où F est une fonction continue sur un ouvert U de R×En + 1, appelé domaine.

L'ordre de cette équation différentielle est l'ordre n de la plus haute dérivée y apparaissant. Soient y une fonction de x définie d'un intervalle I dans E et y', y",… y(n) les dérivées successives de la fonction y. Cette fonction y est dite solution si elle est de classe ∁n et si :

∀x∈I,F(x,y(x),y^' (x),…,y^((n) ) (x) )=0.

Résoudre une équation différentielle revient à trouver les fonctions solutions y.

Par exemple, l'équation différentielle y"+y=0 a une solution générale de la forme :

y(x)=A cos⁡x+ B sin⁡x

où A, B sont des constantes (qu'on peut déterminer si on ajoute des conditions initiales).

Dans une équation différentielle, la fonction y peut être par exemple à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie, ainsi si y a pour composantes y1 et y2 :

{█(〖y'〗_1=y_1-2xy_2+x^2@〖y'〗_2=xy_1-2y_2 )┤

L'usage en physique est de parler alors de système d'équations différentielles couplées. Mais le point de vue fécond en mathématiques est de n'y voir qu'une seule équation, pour une fonction à valeurs vectorielles.

On peut encore élargir la définition, en considérant des équations différentielles sur des variétés différentielles.

Chapitre 1 Résolution numérique des équations différentielles

Introduction

En analyse, il existe des procédés de résolution numérique pour les équations différentielles. En effet la résolution explicite, par quadrature est rarement possible.

La première méthode numérique fut introduite 1768 par Leonhard Euler. Depuis un grand nombre de techniques ont été développées : elles se basent sur la discrétisation de l'intervalle d'étude en un certain nombre de pas. Suivant le type de formule utilisé pour approcher les solutions, on distingue les méthodes numériques à un pas ou à pas multiples, explicites ou implicites.

Il existe plusieurs critères pour mesurer la performance des méthodes numériques : la consistance d'une méthode indique que l'erreur théorique effectuée en approchant la solution tend vers 0 avec les pas. La stabilité indique la capacité à contrôler l'accumulation des erreurs d'arrondi. Ensemble elles assurent la convergence, c'est-à-dire la possibilité de faire tendre l'erreur globale vers 0 avec le pas et donc que la solution calculée soit proche de la solution analytique du problème.

En résumant, La solution numérique est discrète.

Autrement dit:

C’est une suite de N valeurs yi où

yi≈y(xi) ; avec 1≤ i ≤ N.

La Discrétisation

Discrétiser l’axe des x: c’est de subdiviser le segment

I_0 par des points x_i (en général équidistants)

x_i=x_(i-1)+h

h=((b-a))/N; 1 ≤ i ≤ N

h est le pas de discrétisation de la méthode.

1) La discrétisation est la première étape de la résolution numérique. Elle consiste à transformer le problème différentiel en un problème approché et à calculer ensuite les valeurs approchées yi en N points xi de l’intervalle I0.

2) On calcule les yi (valeurs approchées de y (xi)).

3) On estime l’erreur de discrétisation ei ≈ yi-y (xi).

Les méthodes numériques de la résolution

La solution exacte d’une équation différentielle est une fonction continue. Les ordinateurs ne peuvent fournir qu’un nombre fini de résultats numériques. Tout commence donc par un choix préalable d’un nombre fini de points xi sur [a, b]. Ceci est la discrétisation ou le maillage du domaine géométrique (ici le segment [a, b]). On limitera le calcul au calcul approché de la solution en ces points.

Le choix des points xi est évidemment crucial pour la qualité de la solution numérique obtenue. Le maillage doit permettre de représenter de façon précise la solution. Comme cette solution est au départ inconnu, on procède par des techniques d’adaptation de maillage a posteriori. On calcule une première solution sur un premier maillage. On déduit de ce premier calcul les zones de forte variation de la solution. On raffine le maillage dans ces zones.

Encore une fois dans un souci de simplicité, nous présenterons ici les méthodes numériques dans le cas de maillage `a pas uniformes. Le problème de l’adaptation de maillage sera trait´e dans un cadre général chapitre ?

Remarque: Un critère supplémentaire et important de choix des schémas concerne la facilite de mise en œuvre, notamment lors d’un redémarrage calculs. Imaginons un calcul instationnaire ne pouvant faire l’objet d’un calcul complet, soit en raison de la modélisation (comme en météorologie par exemple, ou de nouvelles conditions initiales et aux limites doivent être assimilées chaque jour par le modèle), soit en raison de l’implémentation et de la durée du calcul. Par exemple, sur un calculateur parallèle, le temps d’attente est lié au temps de calcul et à la quantité de mémoire requise.

Dans le premier cas, comme dans le second, on aura recours aux approches à un pas

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