Devoir1 math seconde cned

Exercice 1

1)

a)

Pour le forfait A:

f(x)=20

Pour le forfait B:

g(x)=0,15x

Pour le forfait C:

h(x)=0,05x+12

b)

[pic 1][pic 2]

2)

a)

f(x)=g(x)

20=0,15x

133,33=x

f(x)=h(x)

20=0,05x+12

8=0,05x

160=x

g(x)=h(x)

0,15x=0,05x+12

0,10x=12

x=120

b)

Pour moins de 130 SMS le meilleur forfait est le b,

entre 130 et 150 SMS le meilleur forfait est le c

et pour plus de 150 SMS le meilleur est le a.

Exercice 2

1)

a)

AL=x                DP=x

BL=10-x        AP=10-x

Aire ALP=(x*(10-x))/2=(10x-x²)/2=10x/2-x²/2=5x-x²/2

Aire CDP=10x/2=5x

Aire LBC=((10-x)*10)/2=(100-10x)/2=100/2-10x/2=50-5x

c)

Pour calculer f(x), calculons l’aire du carré ABCD de côté 10cm et on va en soustraire la somme des aires des triangles rectangles CDP, ALP et LCB que l’on vient d’exprimer en fonction de x.

f(x)=(10*10)-[(5x-(x²/2))+(50-5x)+(5x)]

=100-[5x-(x²/2)+50-5x+5x]

=100-(5x-(x²/2)+50)=100-5x-(x²/2)-50)

=(x²-10x+100)/2

=(x²-10x+25+75)/2

=((x-5)²)/2+75/2

f(x)=1/2(x-5)²+75/2

ce qu’il fallait déduire.

2)

a)

Si f(x)≥37,5 alors f(x)-37,5≥0

37,5=75/2 donc

1/2(x-5)²+75/2-37,5=1/2(x-5)²

Un carré est toujours positif donc f(x)-37,5 est supérieur ou égal à 0 donc f(x)≥37,5.

b)

1/2(x-5)²+75/2=75/2

1/2(x-5)²=0

x-5=0

x=5

5∈ [0;10] donc f(x) peut être égal à 37,5.

Puisque f(x)≥37,5 l’aire minimale est 37,5 donc l’aire minimale du triangle est atteinte quand x=5 donc L et P=5.

Exercice 3

1)

D’après le théorème de Thalès

AE/AB=AF/AC=EF/BC

x/2=AF/3=EF/4

x/2=AF/3

3(x/2)

AF=3/2 x

EF/4=x/2

EF=4(x/2)=(4/2)x=2x

EF=2x

p(x)=AE+AF+EF

p(x)=x+3/2x+2x=3x+3/2x=9/2x

p(x) est une fonction linéaire car a =9/2 ,9/2∈ℝ  et par définition soit a un nombre réel fixé, la fonction p, défini sur ℝ par p(x)=ax, est une fonction linéaire.

2)

q(x)=EB+BC+FC+EF

=2-x+4+3-3-3(x/2)+2x

=9+x-(3/2)x

q(x)=9-(1/2)x

donc q(x) est une fonction affine car a=-1/2∈ℝ, b=9, 9∈ℝ et par definition soit a et b des nombres réels fixés, la fonction q, défini sur  ℝ par q(x)=ax+b, est une fonction affine.

3)

4)[pic 3][pic 4]

Les points de la droite dont l’équation est q(x) représentent les périmètres du trapèze BCFE.

Les points de la droite dont l’équation est p(x) représentent les périmètres du triangle AEF.

Ces droites se croisent en un point où AEF et BCFE ont le même périmètre.

On peut donc déterminer graphiquement la valeur de x.

Calculons cette valeur de x

p(x)=q(x)=9/2x=9-1/2x

9/2x= (18-x)/2

donc 9x=18-x

10x=18

x=18/10=1,8

x est égal à 1,8 cm

[pic 5][pic 6]

Exercice 4

1)

a)

Aire d’un triangle isocèle: base*hauteur/2

AIC est un triangle rectangle en I. I est le milieu de BC.

IC=BC/2

IC=6/2=3

Calculons AI

D’après le théorème de Pythagore

AI²=AC²-IC²

AI²=5²-3²

AI²=25-9

AI²=16

AI=4

Calculons l’aire du triangle isocèle ABC

Aire ABC=6*4/2=12

b)

AIC est un triangle rectangle en I.

D’après le théorème de Pythagore

...