Devoir 5 math seconde cned

DEVOIR 5 Exercice 1

⃗⃗ 1. soit AXMT un quadrilatère tel que AX=MT

a . AXMT est un parallèlogramme : Faux

AXMT n’est pas un parallèlogramme car ses cotés opposés ne sont pas parallèles deux à deux.

b. AXTM est un parallèlogramme : Vrai

on a ⃗AB=⃗CD si et seulement si ABDC est un parallèlogramme ⃗AX=⃗MT donc AXTM est un parallèlogramme.

c. on a ⃗XA=⃗TM : Vrai on sait que ⃗BA=−⃗AB

⃗A X = − ⃗X A ⃗MT =−⃗TM − ⃗X A = − ⃗T M ⃗XA=⃗TM

2. Soit BUDZ un parallèlogramme

a. on a ⃗BU+⃗BZ=⃗BD : Vrai

BUDZ est un parallèlogramme, on à donc :

⃗BU =⃗ZD et ⃗BZ =⃗UD

sachant que ⃗BU+⃗UD=⃗BD

on peut conclure que ⃗BU+⃗BZ=⃗BD

b. on a ⃗BZ+⃗DU=⃗0 : Vrai

⃗B Z = ⃗U D ⃗B Z − ⃗U D = ⃗0

⃗B U = − ⃗D U ⃗B Z = − ⃗D U ⃗⃗⃗

BZ+DU=0

c. on a ⃗BU+⃗ZD=0⃗ : Faux

car ⃗BU =⃗ZD

3. Dans un repère (O;⃗i ;⃗j),A(−5;0);B(1;2);C(4;3).

a. Les vecteurs ⃗AB et ⃗AC sont colinéaires : Vrai ⃗AB((1−(−5));(2−0))=⃗AB(6;2) ⃗BC((4−1);(3−2))=⃗BC(3;1)

⃗AB=2⃗BC

⃗AB et⃗AC sont donc colinéaires.

b. On a ⃗BA=−2⃗BC :Vrai on sait que ⃗BA=−⃗AB

⃗AB=2⃗BC ⃗BA=−2⃗BC

c. On a ⃗AB=3⃗AC : Faux ⃗⃗2

AB=2 BC ⃗B C = 1 ⃗A B

2

⃗A C = ⃗A B + ⃗B C = 2 ⃗B C + ⃗B C = 3 ⃗B C

⃗A C = 3 ⃗B C = 3 1 ⃗A B = 3 ⃗A B ⃗⃗2 2

2 AC =3 AB ⃗A B = 2 ⃗A C

3

Exercice 2

1. Conjecture.

Les points A, E, G et I sont alignés.

⃗A E = ⃗A B + ⃗B E = ⃗A B + 2 ⃗B C ⃗AI=⃗AB+⃗BC+⃗CI et⃗CI=−1⃗AB

⃗1⃗⃗ 2 AI=2 AB+BC

⃗AE=2⃗AI . Les vecteurs ⃗AI et⃗AE sont donc colinéaires.

Les points A, I et E sont alignés.

Le point G appartenant à (AI), il est donc également aligné avec les 3 autres.

2. Exprimer ⃗AE et⃗AG ⃗AE=⃗AB+⃗BE et ⃗BE=2⃗BC

⃗A E = − ⃗B A + 2 ⃗B C

On admet que ⃗AG=2⃗AI

⃗2⃗⃗⃗3 AG=3(AB+BC+CI)

⃗A G = 2 ( ⃗A B + ⃗B C + ⃗D C ) 32

⃗A G = 2 ( ⃗A B + ⃗B C + ⃗B A ) ⃗3⃗⃗2⃗

AG=2(−2 BA+BC+BA)

⃗ 3 ⃗2 ⃗ 2 AG=2(−BA+BC)

32

⃗A G = − 1 ⃗B A + 2 ⃗B C o u 33

3 ⃗A G = ⃗A E

3 ⃗A G = − ⃗B A + 2 ⃗B C ⃗AG= 2 ⃗AI alors 3⃗AG=2⃗AI

d o n c

3⃗⃗⃗ On a donc : 3 AG=AE=2 AI

3. Conclusion.

Les points A, G, E et I sont bien alignés et colinéaires.

Exercice 3

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