Cours sur le second degré

Suite du cours second degré

c. variations et courbe représentative

f est une fonction de polynome de degré 2 de forme canonique

f(x)=a(x-alpha)^2+ beta

tableau de variation:

quand a est strictement supérieur à 0

dans le tableau on a :  pour x ,  de – infini,  alpha et + infini

en bas,  dans le tableau  f(x)  on a : de – infini jusqu’ à beta  ( fleche de haut vers le bas)et de beta  

jusqu’à + infini du bas vers le haut

Pour a strictement inferieur à 0

C’est l’inverse :

On ne touche pas à la ligne avec x

Et pour f’x), - infini jusqu’à beta ( fleche bas vers le haut et fleche de haut vers le bas +infini

2. equations du second degré

On résout , ax^2+bx+c=0 avec a different de 0

ax^2+bx+c=0 c’est aussi  a(x-alpha)^2- delta / 4a=0

soit (x-alpha)^2-delta/4a^2=0

-Premier cas delta est strictement inferieur à 0

-delta/4a^2 est strictement sup à  0 donc pour tout reel x,   on a

(x-alpha)^2- delta/4a^2 strictement supérieur à 0

Pas de solution

2. delta=0

 (x-alpha)^2=0

L’equation a une seule soltion :  x0= alpha= -b/2a

3. delta strictement sup à 0

(x-alpha)^2-delta/4a^2=0

Soit ( x-alpha+ racine delta/2a)( x-alpha-racine delta/2a)

Deux solutions

X1= alpha+ racine delta/2a= -b+ racine delta/2a

X2= alpha-racine delta/2a= -b-racine delta/2a

Méthode resolution :

3x^2+5x+2=0

a=3 b=5 c=2 delta 25-4*3*2=1

donc 2 solutions:

x1=(-5+racine de 1)/(6)=-2/3

x2= (-5-racine de 1) / (6)=-1

2x^2+6x-4.5=0

Xo= -6/-4= 3/2

7x^2+x+2=0

Delta= -55 pas de solutoins

3. Factorisation et signe d’un trinome

a. factorisation polynome de second degré

On considere polynome second degré

F(x)=ax^2+bx+c

Si delta est negatif on ne peut pas factoriser en facteurs de premier degre

Si delta=0      f(x)=a(x-x0)^2 avec x est la racine double  -b/2a

Si delta est sup à 0 f(x)=a(x-x1)(x-x2) avec x1 et x2 sont les racines  de ce polynome.

b. Signe de ax^2+bx+c a different de 0

premier cas :  delta est positif

pour tout nb reel x   ax^2+bx+c= a( x-x1)(x-x2) avec x1 et x2 racines du polynome

tableau de signe

 pour premeiere rangée x

x-x1  de –inf jusqu’à x1 negatif de x1  à x2 positif

x-x2 negatif de – infini à x2 negatif et de x2 à + inf  positif

derniere ligne  a(x-x1)( x-x2)  de – inf à x1 ; signe de a de x1 à x2 signe de – a et de x2 à + infini signe de a

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