Cours de maths: l'algèbre linéaire numérique

CPP Thème MATHS - Partie sur l'algèbre linéaire numérique - Emmanuel Maitre

Format du cours : cours-TD et séances de TP illustratives.

1 . Introduction - Mise en perspective :

 Présentation de quelques problèmes issus de la physique, des mathématiques financières, de l'infographie, menant à la résolution de systèmes linéaires.

 Commentaires sur la taille de ces systèmes versus les ressources de calcul disponibles actuellement.

2. Méthode Gauss et LU

 Algorithme naïf, complexité. Révisions sur les mineurs et condition d'existence de la factorisation LU. Théorème d'existence.

 Stockage mémoire efficace. Notion de pivot partiel et total abordé en TP lors de l'implémentation de ces méthodes.

 Cas particulier des matrices tridiagonales, leur intérêt dans les applications.

3. Méthode de Choleski

Théorème d'existence : démonstration à partir de LU ou par récurrence sur la taille de la matrice. Algorithme.

4. Factorisation QR

 Rappel sur les matrices orthogonales, démonstration de l'existence de la factorisation. Lien avec l'orthonormalisation de Gram-Schmidt.

 Algorithme : mise en évidence en TP de l'instabilité de l'algorithme basé sur GS standard, version modifiée.

 Méthode de Householder, matrices de rotation de Givens. Algorithme correspondant.

5. Normes de matrices et conditionnement

 Rappel sur les normes d'applications linéaires et définition de normes de matrices. Calcul des normes standard. Normes multiplicatives. Rappel sur le rayon spectral.

 Série géométrique de matrices : expression de la somme. Conditionnement : définition estimation de l'erreur sur la solution en fonction de l'erreur sur la matrice ou le second membre.

 Exemples de l'impact en TP.

6. Moindres carrés

 Définition, exemples de différents contextes où de tels problèmes apparaissent.

 Lien avec la méthode QR. Application en TP sur des problèmes de moindres carrés.

7. Calcul de valeurs propres

 Introduction sur les valeurs propres, liens avec quelques phénomènes physiques.

 Localisation de valeurs propres : ce que la théorie nous dit et en quoi cela peut aider le calcul

 Méthode de la puissance, puissance inverse, démonstration de convergence, conditionnement d'un pb de valeurs propres,

 Méthode QR pour le calcul des valeurs propres, mise en pratique et test de ces méthodes en TP.

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