Bases des mathématiques

Bases des mathématiques

I. Logique

À la base de tout raisonnement mathématique, il y a les assertions qui sont des énoncés ayant un sens mathématique et pouvant être vrais ou faux. Les axiomes (ou postulats) d'une théorie sont des assertions considérées comme vrais à priori. On admet que la théorie n'est pas contradictoire (i.e. ne contient pas d'assertion à la fois vraie et fausse car on démontrerait à ce moment là que toute assertion est à la fois vraie et fausse).

Exemple :

- "1>2" est une assertion fausse.

- "La fonction sinus est une fonction bornée" est un assertion vraie.

Selon l'importance qu'on leur accorde, les énoncés vrais de la théorie portent le nom de lemme, proposition, corollaire ou théorème. Ils se déduisent des axiomes et des théorèmes déjà connus au moyen d'un raisonnement logique (i.e. une démonstration).

1. Connecteurs logiques

(1) Négation : À chaque assertion P correspond sa négation notée NON P telle que NON P est vraie uniquement lorsque P est fausse.

(2) Conjonction : Soient P et Q deux assertions, alors on leur associe leur conjonction noté P ET Q telle que P ET Q est vraie uniquement si les deux assertions P et Q sont vraies.

(3) Disjonction : Soient P et Q deux assertions, alors on leur associe leur disjonction noté P OU Q telle que P OU Q est vraie si l'une des deux assertions P et Q au moins est vraie.

Remarque :

Pour démontrer une assertion de type P ou Q, on procède souvent ainsi : on suppose que l'un des deux est fausse et, avec cette hypothèse, on essaie de montrer que l'autre est vraie. En effet, si P est vraie, alors P OU Q est vraie. En revanche, si P est fausse, P OU Q est vraie uniquement si Q l'est. On peut aussi procéder directement en montrant qu'au moins une des deux assertions est vraie.

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