La prévention publique d’une épidémie dans un modèle optimale de croissance.

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La prévention publique d’une épidémie dans un modèle optimale de croissance.

Enseignant : M. Aienseba

Etudiant : Louis-Armand Aimé

Sommaire :

introduction : le sida

I – le modèle épidémiologique:

1. Le modèle SIR
2. une politique de santé publique : le dépistage

II – le volet économique :

1. Le cout de la prévention sociale
2. Son impact sur les sociétés

conclusion : prévention oui, mais …

Introduction

Le syndrome de l’immunodéficience acquise, plus connu sous son acronyme SIDA, est le nom d’un ensemble de symptomes consécutifs à la destruction de plusieurs cellules du système immunitaire par rétrovirus. Le SIDA est le dernier stade de l’infection par ce virus et finit par la mort de l’organisme infecté, des suites de maladies opportunistes.

Une pandémie s’est développée à partir des année 1970, faisant de cette maladie un nouveau problème sanitaire mondial. La prévention constitue de loin la meilleur option de santé publique car il n’existe à ce jour aucun vaccin permettant de se protéger du virus. Une fois la maladie contractée, il éxiste des traitements antiviraux ne permettant aucune guérisson, ils ne peuvent que ralentir la prolifération du VIH (virus d’immunodéficience humaine) au sein de l’organisme. De plus, ces thérapeutiques, couteuses, sont plujs ou moins accessibles selon le degré de dévellopement du pays ou l’on se trouve. Un politiue de prévention à aussi un coup  pour les gouvernements et organisme de santé publique.

La volonté d’étudier la prolifération d’une épidémie, comme le SIDA et ces 38,6 millions de personnes estimées vivant avec le virus, a donnée lieu à une série d’écrits et de modélisations mathématiques diverses. Le but étant de tenter d’en determiner les facteurs clé dans l’optique de juguler la propagation.

Ainsi plusieurs modelisation sont proposé, une etude analytique generale de plusieurs politique interventionniste telle que la vaccination, le depistage ou encore les campagnes de sensibilisation. Ces études tendent à montrer l’impact d’un contrôle de l’épidémie selon différents intervals de temps. Les conclusions de ces analysent restent trop souvent limités à l’épidémie considérées, ou souvent limitées à une zone géographique tant les réactions locales des gouvernements à travers le monde reste hétérogènes et fortement liées à la santé économique nationale.

L’article des professeurs Ainseba de l’université de Bordeaux 2, d’Albis de l’université de Toulouse 1 et Augéraud-Véron de l’université de la Rochelle, sur lequel se base notre étude, discute de la pertinence de l’introduction de contraintes économiue dans un modèle épidémiologique, afin d’obtenir une simulation plus réaliste de l’impact d’une intervention publique.

L’idée est simple une fois admise : une politique de santé publique n’a pas seulement un cout immédiat, mais elle affecte aussi la santé économique future. En effet, les ressources engagées pour le compte des dépenses liées à la santé sont autant de ressources amputées à l’investissement. D’autre part, la politique de santé publiue une fois menées voudrait voir se reduire l’épidémie, donc le nombre d’individus infectés. Une population en meilleur santé produira plus de richesse.

La politique interventionniste optimale sera celle qui intégrera le mieux ce compromis intemporel.

Les modèles étudiés ici sont un modèle de type SIR pour ce qui est du volet épidémiologique, et un modèle de croissance optimale de Ramsey pour le volet économique.

Le but de notre étude réside dans la réalisation d’objectifs standards des mathématiques d’épidémiologie, à savoir la minimisation du nombre d’individus infectés, et d’économie, soit la maximisation de l’utilité.

Dans un premier temps, il sera question de decrire les modèles retenues. Nous introduiront une politique de santé publique, le dépistage, et jugeront de son impact sur les deux modèles.

1. Le modèle épidémyologique

1. Le modèle SIR

Afin de modeliser l’évolution de l’épidémie dans une grande population,  la diversité de la population doit être réduite à un certain nombre de caractéristiques clés pertinents pour l’étude de l'infection. Pour cela on a fait apparaitre des subdivisions fonctions des caractéristiques retenues. Ces subdivisions de la population sont appelés compartiments.

Nous allons ici prendre nous intéresser à l’exemple du SIDA. La dynamique de l’épidémie sur laquelle se base notre modèle est la suivante :

On considère un temps continu, . [pic 1]

La population P(t) est initialement divisée en trois classes avec les notation standards des modèles SIR :

S(t), les individus sains qui sont donc suceptibles d’étre infectés.

I(t), les individus dit « porteur-sain », qui sont infectés par le virus mais ne dévelopent pas encore la maladie.

R(t), les individus « malades » qui dévelopent la maladie,

On postule que celle les « porteurs-sains » sont actifs dans la contamination par deux voies distinctes :

Une contamination dite horizontale, modélisée par une fréquence de contamination d’indivus à individus.

Une contamination verticale, qui est la proportion de nouveau-nés infectés par un parents.

Les « porteur-sains » dévellopent la maladie avec un certain taux.

On aura recours au paramètre démographiue de base que sont le taux de natalité et le taux de mortalité, ce dernier sera plus important chez les individus porteur-sains et plus encore chez l’individu malade.

La dynamique des populations s’écrit alors comme le système différentiel suivant :

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

Avec

u // taux de mortalité

u1 // augmentation du taux de mortalité chez les individus porteurs du virus

...