Physique de l'expresso

La physique de l’expresso Abstract La cafetière italienne est un objet reposant sur de nombreux principes physiques. A l’aide de plusieurs expériences, il est cependant possible de déterminer la mouture ou la puissance de chauffe idéales, et de comprendre comment l’eau circule dans la machine, ainsi que les mécanismes thermodynamiques entrant en jeu. Plusieurs concepts sont à étudier : la montée de l’eau grâce à sa chauffe, son passage dans un milieu poreux et sa remontée le long de tubes, mais également des paramètres à première vue sans conséquences, comme le volume d’eau dans la partie basse, la finesse de la mouture ou encore la puissance de chauffe qui ont pourtant leur importance. 1. Introduction Bien qu’il s’agisse d’un outil du quotidien, la cafetière italienne ou encore moka reste un objet peu ou mal compris sur le plan fonctionnel. En effet, contrairement aux machines à expresso avec lesquelles nous sommes assez familier, la cafetière moka combine les effets de pression et de température à la fois. Voyons d’abord en quoi consiste cette cafetière. Elle se compose en 2 grandes parties séparées par un filtre : en somme, 3 compartiments interdépendants. Au bout de quelques minutes au-dessus d’une source de chaleur, une partie de l’eau contenu dans le compartiment inferieur s’évapore. Ces vapeurs d’eau, font pression sur le reste de l’eau liquide, qui n’a d’autre choix que de remonter le long de l’entonnoir et de passer à travers le filtre dans lequel se trouve le café plus ou moins moulu. Une fois les grains de café bien imbibés, l’eau maintenant gorgée d’arome de café continue de monter à travers le tube centrale et fini par remplir le compartiment supérieur. Nous essayerons à travers cet article de comprendre et d’expliquer le fonctionnement de cette cafetière qui fait intervenir des concepts, pouvant à première vue paraitre triviaux. En s’appuyant notamment sur les travaux de Concetto Gianino, « Experimental analysis of the Italian coffee pot “moka” », ainsi que de Warren D. King « The physics of a stove-top espresso machine », nous tenterons modestement à notre tour d’étudier les différents aspects physiques de cette cafetière. Ainsi nous verrons en quoi le volume d’eau initial, mais aussi et surtout le volume d’air initial piégé dans le compartiment sous pression, sont des paramètres primordiaux. Comment calibrer la température de manière optimale ? En quoi la finesse des grains joue-t-elle un rôle important, quant au passage de l’eau à travers un poreux, le café ? Tels sont les enjeux de notre travail. Nous émettrons un jugement qualitatif sur le café, à travers des résultats de spectrophotométrie qui nous permettrons de mettre en évidence la concentration de café idéale en fonction de la puissance de chauffe. UNIVERSITE DE PARIS PROJET DE PHYSIQUE EXPERIMENTALE I. Matériel expérimental et méthode Il existe différents modèles de cafetière, les plus connues restent les cafetières MOKA EXPRESS, par Bialetti, originaire d’Italie. Elles peuvent être de tailles différentes. Nous avons fait le choix de travailler sur le plus grand modèle, en aluminium. Le réservoir inférieur peut contenir jusqu’à 1075 ml, soit près d’un litre , et dispose d’un entonnoir d’une capacité de 193ml. (Introduire photo) 1.1 Conditions initiales : Au cours des expériences nous avons utilisé une seule sorte de café moulu intense 100% arabica. On va systématiquement déposer la même quantité de mouture dans le filtre. 1.2 Acquisition de données : On utilise le logiciel LabView7, pour les données relatives à la pression, qui luis sont envoyés via une carte National Instrument. En ce qui concerne les températures elles sont enregistrées par un logiciel propre au thermomètre que l’on utilise, Tenma 72-7715. 1.3 Capteurs de température et pression : Pour la pression, on utilise le capteur de pression absolue Honeywell 50psi, un transducteur pression-voltage. Pour la pression on relie un thermomètre Tenma 72-7715 à un thermocouple de type K qui captera une température au niveau du réservoir inferieur et dans la colonne supérieure de la cafetière. 1.4 Matériel de spectrophotométrie : Pour la spectrophotométrie, on utilise une fibre optique reliée à un boitier USB-650, dont les données sont collectées sur l’ordinateur via le logiciel OceanView. II. Volume et pression La partie inférieure [A], consiste en un récipient contenant un certain volume d’eau. Sous l’effet de la chaleur, une partie du volume d’eau initial s’évapore et se retrouve dans la partie « vide » du récipient. La pression devient de plus en plus forte dans le réservoir, telle qu’elle applique une force sur l’eau qui finit par remonter le long de l’orifice prévu à cet effet. La physique impliquée dans cette étape peut à première vue nous paraitre triviale, mais il n’en est rien. En effet nous nous demanderons en quoi le bon fonctionnement de la cafetière moka, notamment à ce stade du procédé, dépend non seulement du volume d’eau initial mais aussi et surtout, du volume d’air initial dans ce compartiment. On se servira principalement de concepts thermodynamiques, l’équation d’état de l’eau, ainsi que la transition liquide-vapeur, qui seront explicités et développés davantage dans les paragraphes suivants. Nous verrons à travers les expériences qui vont suivre, que le volume de café extrait est proportionnel au volume initial d’air dans le compartiment. Aussi l’eau et l’air dans le réservoir voyant, leur température montée, augmenterons de même en pression. Ils seront donc question de pression partielle d’eau, pression partielle d’air ainsi que de pression de vapeur saturante. Notons qu’idéalement l’eau devrait traversée la mouture à une température de 93°C en un seul « shot » pendant environ 30secondes : si l’eau dépasse cette température le café risque de bruler, si elle est trop inférieure à 95°C, tous les aromes ne seront pas extraits. Pour expliquer les phénomènes thermodynamiques entrant en jeu, nous partirons de l’expression du débit de l’eau tel que la loi de Darcy l’a définie à travers un milieu poreux : 𝑸 = 𝜶. ∆𝑷 = 𝜶 (𝑷𝒕𝒐𝒕 − 𝑷𝑨) (𝟏) Le débit Q en [L3 .T-1 ] serait donc proportionnel au coefficient de conductance α, qui sera davantage traité dans la partie suivante, ainsi que de la surpression ΔP en [M.T-1 .L-2 ] dans le compartiment d’eau. On négligera les effets du passage a travers le filtre dans un premier temps tout comme on considèrera α comme une constante, se plaçant ainsi dans le modèle de l’écoulement laminaire à travers un poreux comme le sable. Le réservoir maintenant fermé, contenant un espace libre, au-dessus de l’eau, de volume Vi, à une pression PA à une température absolue Ti. On chauffe le système. Dès lors 2 effets sont observés : on a une augmentation de la pression partielle de vapeur d’eau, ainsi qu’un changement de la valeur de pression partielle de l’air initialement présente dans le compartiment. En effet, il existe un lien entre la pression de vapeur saturante, notée P0 , à la température Ti et P0 à T. Rappelons tout de même ce que représente la pression de vapeur saturante. On place de l’eau dans une bouteille que l’on scelle. Au fil du temps et à une certaine température Tv l’eau liquide commence à s’évaporer, puis se condense et retombe dans le récipient. L’équilibre thermodynamique liquide-vapeur est atteint lorsque la vitesse d’évaporation devient égale UNIVERSITE DE PARIS PROJET DE PHYSIQUE EXPERIMENTALE a la vitesse de condensation, tel que chaque molécule d’eau qui s’évapore est remplacé par une autre molécule d’eau qui se condense au même rythme. Temps que l’on garde la même température Tv constante, le nombre de molécule d’eau dans la vapeur ne varie plus. Au moment où on atteint cet équilibre, la pression exercée par la vapeur est appelée tension de vapeur ou pression de vapeur saturante à la température Tv, car elle représente la pression maximale de vapeur qu’on peut former à cette température. Donc si T augmente, P0 fera de même. Ainsi une forme intégrée de l’équation de ClapeyronClausius traduit le lien entre P0 à Ti et à T tel que : 𝑷 𝟎 (𝑻) = 𝑷 𝟎 (𝑻𝒊 )𝒆 𝑳𝑴 𝑹 ( 𝟏 𝑻𝒊 − 𝟏 𝑻 ) (𝟐) Avec L, la chaleur latente ou enthalpie de vaporisation, M la masse moléculaire de l’eau et R la constante des gaz parfaits. On considèrera la vapeur d’eau comme un gaz parfait, et la valeur de L n’évoluant pas de manière significative pour des températures allant de 17°C à 110°C, on la considérera constante (Cf. Formule de Regnault). Plus encore, on observe un changement au niveau de la pression partielle de l’air (gaz parfait) initialement présent dans la section inferieure du système. On passe d’un volume d’air initial Vi à température initial Ti, à un volume d’air V à température T. On sait d’après la loi de Boyle-Mariotte qu’à température constante, le volume occupé par un gaz est inversement proportionnel à sa pression, aussi d’après la loi de Gay-Lussac, à volume constant, la pression d’un gaz est directement proportionnelle à sa température absolue. On peut alors écrire la relation suivante : 𝑷𝒂𝒊𝒓(𝑻) = 𝑷𝒂𝒊𝒓(𝑻𝒊 ) 𝑽𝒊 𝑻 𝑽 𝑻𝒊 (𝟑) L’équation met ainsi bien en évidence la baisse remarquable de pression partielle de l’air au même temps qu’un certain volume d’eau monte à travers le tuyau. Il s’agit-là du phénomène de dilatation de l’air comprimé, lorsqu’on détend l’air, son volume augmente donc sa pression diminue. On a alors une pression totale : 𝑷𝒕𝒐𝒕 = 𝑷𝒂𝒊𝒓(𝑻𝒊 ) 𝑽𝒊 𝑻 𝑽 𝑻𝒊 + 𝑷 𝟎 (𝑻) (𝟒) Et on définit notre pression atmosphérique initial dans le réservoir telle que : 𝑷𝒂𝒕𝒎 = 𝑷𝒂𝒊𝒓(𝑻𝒊 ) + 𝑷 𝟎 (𝑻𝒊 ) (𝟓) En substituant (5) dans (4) on a l’expression finale du débit telle que : 𝑸 = 𝜶.[𝑷 𝟎 (𝑻) + 𝑷𝒂𝒕𝒎 ( 𝑽𝒊 𝑻 𝑽 𝑻𝒊 − 𝟏)− 𝑷 𝟎 (𝑻𝒊 ) 𝑽𝒊 𝑻 𝑽 𝑻𝒊 ] (𝟔) On exploitera alors cette expression en modulant les températures et volumes initiales à travers les expériences qui vont suivre. 2.1 Extraction du café pour différents volumes d’eau à puissance de chauffe constante On place notre cafetière sur une plaque chauffée à 250°C soit une puissance de 70W (cette valeur sera explicité dans la partie suivante). On ne considère les pertes de chaleur. Le réservoir de la cafetière que nous utilisons a une capacité totale de 1075ml et de 880ml au niveau de la valve de sécurité. Le volume de l’entonnoir est de 193ml. Dans cette première partie on a fait varier notre volume d’eau initial en prenant 3 volumes différents : 300 ml, 600 ml, 800 ml. Le coefficient de perméabilité sera considéré comme connu et on prendra donc α=10(-8) cm. L’objectif de cette section étant de comprendre le fonctionnement de la cafetière et terme de pression et de volume initial d’air/d’eau, on effectuera les manipulations sans se soucier de la nature des grains de cafés. La première manipulation consiste donc à enfermer 300 ml d’eau à température ambiante d’environ 21°C, dans le réservoir sous pression. Dans la figure 1, on observe l’évolution de la surpression totale, soit (Ptot – Pa). On constate sur la figure 2 que pour un volume initial d’eau moins élevé, donc un volume d’air initial plus grand, une surpression maximale est atteinte plus rapidement que pour des volumes d’eau plus élevées. Figure 1 : Evolution de la surpression totale en fonction de la température pour différents volumes d'eau initiaux UNIVERSITE DE PARIS PROJET DE PHYSIQUE EXPERIMENTALE Comme montré précédemment on peut facilement déduire la contribution en pression liée à la pression partielle de l’air en appliquant la loi des gaz parfaits : 𝑷𝒂𝒊𝒓(𝒕) = 𝑷𝒂𝒊𝒓(𝑻𝒊 )𝑽𝒊𝑻 𝑽𝑻𝒊 (𝟕) La contribution de la pression due à l’air à un temps t pendant l’extraction est donc proportionnelle au volume d’air initial Vair(0) ainsi qu’à sa pression partielle initiale Pair(0). On s’intéresse maintenant à un seul volume parmi les 3. Pour un volume initial d’eau de 600 ml, le liquide commence à s’écouler au niveau du tuyau supérieur au bout de 783 secondes : on l’appelle le 1er « shot ». Puis à partir de la 816ème seconde on peut voir un écoulement continu. On peut diviser l’expérience en 2 phases : la première pendant laquelle le mélange d’air et de vapeur ainsi que de vapeur d’eau peut être considéré comme un système, dont la pression augmente par la chaleur fournie par la plaque et l’évaporation continue de l’eau, va finir par faire pression sur l’eau et la pousser à travers le tube hors du réservoir. Aussi, la pression augmente avec la température, jusqu’à atteindre une température d’équilibre, après laquelle la pression chute brutalement. Ce pic de pression est atteint pour une température d’environ 95°C ; d’un point de vue qualitatif, si l’eau dépasse cette température le café risque de bruler, il est donc fortement conseillé d’interrompre l’extraction à cet instant. Dans un deuxième temps, le niveau de l’eau restant dans le réservoir est si faible qu’il ne peut être siphonné dans le tube. Le reste de l’eau s’évapore alors, d’où la hausse brutale de température dans la dernière phase de la fig. 2. 2.2 Passage à travers le tube puis le café : pression et coefficient de filtration La partie intermédiaire [B], le filtre, est la partie venant s’insérer dans le réservoir et dans laquelle le café est déposé. Il consiste en un cylindre métallique creux relié à un entonnoir et délimité de celui-ci par une plaque perforée par laquelle l’eau arrive et imbibe le café moulu avant de remonter dans la suite de la cafetière. Durant ce passage, l’eau sous pression passe par un milieu poreux caractérisé par sa conductance α, elle-même caractérisée par plusieurs paramètres. En détaillant l’équation de Darcy précédente et en ne considérant α non plus comme une constante, mais comme une variable dépendant des caractéristiques du milieu, on obtient l’équation suivante : 𝑸 = ∆𝑷 𝒌𝝆𝑺 𝝁𝑳 (𝟖) III. Puissance de chauffe et concentration en café 3.1 Calibrage de la puissance de chauffe La première expérience réalisée a été la calibration de la puissance de chauffe de la cafetière à un volume d’eau donné et une température donnée. Avec un volume d’eau initial de 300 mL et une température de chauffe de la plaque chauffante de 250°C, nous avons estimé cette puissance à 77,8 W. Ce calcul dépend en même temps de la durée d’expérience et du volume d’eau, de telle façon que ces deux paramètres se compensent dans le calcul : ainsi la puissance ne calibre que l’énergie fournie à une température donnée pour une cafetière donnée, puisque le calcul dépend également de la masse volumique du matériau du réservoir : 𝑷 = (𝑪𝒆𝒂𝒖𝑴𝒆𝒂𝒖 + 𝑪𝒂𝒍𝒖𝑴𝒂𝒍𝒖)𝑻 𝒕 (𝟗) Une conséquence de ce choix est liée à la concentration du café arrivant dans la cafetière : une expérience plus longue mène à une élévation de la pression plus Figure 3a,b : Evolution de la température et de la surpression dans le compartiment inferieur pour un volume initial d'eau de 600 ml Figure 2 : Surpression totale en fonction du temps pour différents volumes UNIVERSITE DE PARIS PROJET DE PHYSIQUE EXPERIMENTALE lente, donc à un passage plus long dans le filtre, et une expérience plus courte mène à une élévation plus rapide de la pression, donc à un passage plus rapide dans le filtre. Plus l’eau reste longtemps dans le filtre, plus elle est capable d’extraire les arômes de café dans le temps. Cette extraction dépend également de la température de l’eau et de la mouture du café moulu, mais nous allons nous concentrer essentiellement sur l’impact de la puissance de chauffe sur la concentration du café. De plus, en raison de l’augmentation de la pression au cours de l’expérience, l’eau passe plus en plus rapidement dans le café au sein d’une même expérience, et le café serait théoriquement de moins en moins concentré au cours du temps. Les expériences suivantes permettraient de démontrer cette conséquence. 3.2 Evolution de la concentration au cours du temps Afin de calibrer la concentration, une série de 3 expériences a été réalisée en modifiant seulement la température de chauffe fournie par la plaque chauffante, soit 200°C, 250°C et 350°C. Durant ces expériences, le temps d’arrivée du premier « jet » de café et de l’écoulement continu du café ont été notés afin de démontrer que la durée de passage de l’eau dans le filtre dépend de cette puissance ; des échantillons de café ont été prélevés toutes les minutes depuis la colonne et nous avons réalisé des spectrographies afin de non seulement montrer les variations de concentration au cours du temps, mais aussi la plage de valeurs sur lesquelles ces concentrations se trouvent. Pour les valeurs à 200°C, on obtient le graphe suivant : Le graphe montre l’évolution de l’absorbance au cours du temps : celle-ci diminue au cours du temps car les échantillons absorbent de moins en moins la lumière, et sont donc de moins en moins concentrés. L’expression de l’absorption est donnée par la loi de Beer-Lambert A = εlc; pour une longueur d’onde donnée, l’absorbance est proportionnelle à la concentration, il faut donc seulement comparer ces absorbances pour mettre en évidence la variation de la concentration en fonction de la température de chauffe. La longueur d’onde choisie pour la courbe d’absorbance correspond environ à celle pour laquelle l’intensité lumineuse mesurée est la plus grande pour tous les échantillons. 3.3 Détermination de la permittivité du café Seule l’expérience à 200°C a été réalisée en suivant le protocole, et la surpression mesurée au cours du temps suit la courbe suivante : Nous pouvons voir sur la courbe une lente montée jusqu’à environ 750 s, un premier maxima de pression, une légère dépression, puis une grande montée de pression avant de se stabiliser. Le premier jet de café se situe à 782 s et l’écoulement continu commence à 816 s. L’intervalle de temps entre ces deux valeurs varie en fonction de la puissance de chauffe, et le temps d’arrivée du premier jet arrive de plus en plus tôt à mesure que la température de chauffe augmente. On définit la pression de filtration comme la pression nécessaire pour que l’eau puisse traverser le filtre et la couche de café. On peut l’identifier graphiquement comme la valeur du pic de surpression secondaire : dans le cas de notre cafetière, celle-ci correspond à 3,4 kPa (à déplacer dans la 1ère partie). A l’aide de cette pression, nous pouvons identifier la permittivité du milieu en comparant les temps d’arrivée de l’eau en haut de la cafetière à volume constant avec et sans café. On identifie la permittivité du milieu par la formule suivante : 𝒌 = 𝒎𝝁𝑳 𝑺𝝆𝟎𝒕∆𝑷 (𝟏𝟎) UNIVERSITE DE PARIS PROJET DE PHYSIQUE EXPERIMENTALE Obtenir la permittivité du café moulu revient à soustraire les expressions avec café et sans café. On obtient alors : 𝒌𝒄𝒂𝒇é = 𝒎𝝁𝑳 𝑺𝝆𝟎∆𝑷 ( 𝟏 𝒕𝒔𝒂𝒏𝒔 𝒄𝒂𝒇é − 𝟏 𝒕𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒄𝒂𝒇é ) (𝟏𝟏) Avec l’expérience sans café moulu, le premier jet est à 582 s. On donne m=44,68 g, μ=0.298 mPas, S=4.9 × 10−3 m2 , ∆P =3418 Pa et ρ0=961.62 kg/m3 et on obtient 𝑘𝑐𝑎𝑓é = 1,348 × 10−10 cm2 , ce qui correspond à la permittivité d’un sable fin retenant l’eau. Bibliographie : [1] Concetto G., Experimental analysis of the Italian coffee pot ''moka'' DOI:http://dx.doi.org/10.1119/1.2358157 [2] Warren D. King, The physics of a stove-top es presso machine DOI:https://doi.org/10.1119/1.2870524 [3] Marle C.M., Henry Darcy et les écoulements de fluides en milieu poreux DOI: 10.2516/ogst:2006001 [4] A. Varlamov and G. Balestrino, “La fisica di un buon caffe,” Boll. Soc. Ital. Fis. Nuova Ser. 17, 59–66 2001 [5] Vapor pressure data of H2O, dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/ GasLaw/VaporPressure-Data.html. [6]http://hydrogeologistswithoutborders.org/word press/1979-english/chapter-2

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