Dérivation STMG

Dérivation

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Définition: Le nombre dérivé de la fonction  f  au point A d’abscisse a est par définition la pente de la tangente, si elle existe à la courbe de  f  au point A d’abscisse a. Il se note f’(a).

Exemple:

[pic 4]

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L’équation réduite d’une tangente à une courbe en un point d’abscisse a est   y = f ′ (a)(x − a) + f(a) .

Exemple:[pic 6]

1. a. f(4) =

        f ′(4) =

    b. L’équation réduite d’une tangente à une courbe

en un point d’abscisse 4  est:

                        y = f ′(4)(x − 4) + f(4)

                           =

[pic 7][pic 8]

[pic 9]

Dérivation

Exercice 1. Calculer des fonctions dérivées

Calculer, pour chacune des fonctions suivantes, sa fonction dérivée. Puis calculer leur nombres dérivées en -1, 0 et 2:

                               [pic 10]

Exercice 2. Étudier des fonctions avec la dérivée 

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x2 + 6x − 10 .

1.a) Calculer f ′(x).

   b) Étudier le signe de f ′(x) .

2. a) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur ℝ.

    b) En déduire que f admet un extremum sur ℝ. Préciser en quelle valeur de x il est atteint

Exercice 3.  Étudier des fonctions avec la dérivée

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 10] par : f(x) = x3 − 18x2 + 96x − 50 .

1. a) Calculer f ′(x) et montrer que, pour tout x ∈ [0 ; 10] : f ′(x) = 3(x − 4)(x − 8) .

    b) Étudier le signe de f ′(x).

2. a) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur [0 ; 10].

    b) Déterminer les extremums de f sur [0 ; 10]. Préciser en quelles valeurs de x ils sont atteints.

Exercice 4.  Étudier des fonctions avec la dérivée

On définit la fonction f sur l’intervalle [0; 20] par : f(x) = −x3 + 30x2 − 108x − 500.

1. On admet que f est dérivable sur l’intervalle [0; 20] et on note f ′ sa dérivée. Calculer f ′(x).

2. Montrer que f ′(x) = −3(x − 2)(x − 18).

3. Donner les abscisses des points de la courbe représentative de f en lesquels la tangente est horizontale. 4. Étudier le signe de cette fonction dérivée puis dresser le tableau de variations de la fonction f sur      [0; 20]. Y a-t- il un maximum sur l’intervalle [0; 20] ? Si oui donner ses coordonnées.

Exercice 5. Problème

Un producteur de truffes noires cultive, ramasse et conditionne de 0 à 45 kg ce produit par semaine durant la période de production de la truffe.

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