Mathématiques - Evolution

Evolution

• Variation absolue et taux d’évolution (ou variation relative)

Soit y1 et y2 deux nombres réels strictement positifs.

La variation absolue de de  à est le nombre y2-y1[pic 1][pic 2]

Le taux d’évolution de  à  est le nombre t =  .[pic 3][pic 4][pic 5]

• Coefficient multiplicateur

Soit  et deux nombres réels strictement positif et t le taux d’évolution de  à .[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

Le coefficient multiplicateur de  à  noté c = 1 + t.[pic 10][pic 11]

Exemple : Une augmentation de 20% se traduit par c = 1 + 0,20 → c = 1,20.

Une diminution de 20% se traduit par c = 1 – 0,20 → c = 0,80.

Une augmentation de 300% se traduit par c = 1 + 3 → c = 4.

• Evolutions successives

Soit ,  et  trois réels positifs.[pic 12][pic 13][pic 14]

Soit  le taux d’évolution de  à [pic 15][pic 16][pic 17]

Soit  le taux d’évolution de  à .[pic 18][pic 19][pic 20]

Le taux d’évolution global de  à  est donc t = (1+ t1) * (1+ t2) – 1.[pic 21][pic 22]

• Evolution réciproque

Soit  et  deux nombres réels strictement positifs.[pic 23][pic 24]

Soit t le taux d’évolution de  à .[pic 25][pic 26]

Le taux d’évolution réciproque de à  est t =  - 1[pic 27][pic 28][pic 29]

Pour retrouver la valeur initiale d’une quantité, il faut multiplier la valeur finale par l’inverse du coefficient multiplicateur, soit c’ = .[pic 30]

Exemple :  Nous avons une valeur initiale de 80 €. Après une augmentation de 20%, elle vaut

80 * 1,20 = 96€. Pour retrouver sa valeur initiale : 96 *  = 80 €.[pic 31]

• Taux d’évolution moyen

Formule :  =  – 1[pic 32][pic 33]

Méthode : Pour trouver le taux d’évolution moyen, on élève le coefficient multiplicateur c à la puissance  , où n représente le nombre d’années. Par suite t = c – 1.[pic 34]

Indices : Si une quantité  prend les valeurs ,  ….  et que l’on lui affecte l’indice  = 100, les valeurs ,  ….  se verront affecter des indices , …. , tel que  =  .[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

Le taux d’évolution de la valeur  à la valeur  est alors de  - 100%)[pic 48][pic 49][pic 50]

Exemple :  Soit une valeur  = 35 352 indice 100, elle évolue en  = 62 368. Quel est l’indice  ?[pic 51][pic 52][pic 53]

 =   =  =   .  Par application de la règle des produits en croix, nous obtenons :[pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]

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