DE de physique peip 1

UNIVERSITE MONTPELLIER II Ann ́ee 2014-2015 POLYTECH MONTPELLIER Vendredi 16 janvier 2015

Examen Terminal — session 1 Physique G ́en ́erale 1 — HLPH104

Dur ́ee 2h00, tous documents interdits, calculatrices et mat ́eriel informatique interdits. Les exercices I `a IV sont ind ́ependants et peuvent ˆetre trait ́es dans un ordre indiff ́erent.

B le long desquelles roule sans frottement une bille

→−→− a

π

η0 0

Exercice II : Courbe brachistochrone (indice de On consid`ere le probl`eme plan de deux courbes A et

calcul :

1−cosη

cos η − cos η dη = π)

y

ponctuelle de masse m. On utilisera la base {ux,uy} →− →− →− →−

2 R

0 0

ou` uy = −g/∥g∥ et ou` g est l’acc ́el ́eration de la gravit ́e. Ces courbes sont d ́ecrites par la donn ́ee pa- ram ́etrique de leurs coordonn ́ees (δ ∈ [0,π] est un param`etre de rep ́erage et R > 0 est une constante) :

b

c

xA(δ)=Rδ xB(δ)=R(δ−sinδ) yA(δ)=2R(1−δ/π) et yB(δ)=R(1+cosδ)

B A d

πR x

Sur une courbe X ∈ {A,B}, on rep`ere la position de la bille par son altitude y (y = yA ou →− ds

y = yB selon) et sa vitesse par sa norme vX (y) = ∥ vX (y)∥ = dt ou` s est l’abscisse curviligne sur la courbe consid ́er ́ee et t le temps. Au point a d’altitude ya = 2R = yA(δa = 0) = yB(δa = 0) et au point a d’altitude yd = 0 = yA(δd = π) = yB(δd = π) les courbes A et B s’intersectent.

1) Pour une bille laˆch ́ee sans vitesse initiale en a, donner vA(yd) et vB(yd) les vitesses qu’elle aurait au point d selon quelle suive la courbe A ou B.

2) Pour une bille laˆch ́ee sur la courbe B sans vitesse initiale en b d’altitude yb = yB(δb) ∈ [0,2R], que vaut la norme de sa vitesse vB(y) en un point d’altitude quelconque (comme le point c) y = yB(δ) ∈ [0,yB(δb)]?

3) Pour une bille laˆch ́ee sur la courbe B sans vitesse initiale en b d’altitude yb = yB(δb) ∈ [0, 2R], montrer que la variation de temps dt n ́ecessaire a` la bille pour parcourir une portion ds de la courbe B correspondant `a un accroissement infinit ́esimal dδ du param`etre δ vaut :

→−

dt=dδ (R/∥g∥)× (1−cosδ)/(cosδb −cosδ)

Indications : On rappelle que la norme du d ́eplacement infinit ́esimal curviligne s’exprime comme ds = dx2B(δ) + dyB2 (δ).

4) Pour une bille laˆch ́ee sur la courbe B sans vitesse initiale `a une altitude quelconque, montrer (en vous appuyant sur l’indice de calcul fourni) qu’il lui faudra toujours un temps

→−

π

...