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Cours n°1 matrice L1 bio

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Par   •  10 Mars 2018  •  Cours  •  2 660 Mots (11 Pages)  •  1 033 Vues

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UE-Mathématiques

Chapitre 1: Matrices

Definition :Une matrice est un tableau de nombres.

Exemple : M=(2 5 4)

                         1 0 -9

                     

Vocabulaire : Les nombres du tableau s’appellent les coefficients de la matrice.

On dit qu'une matrice est de taille m fois n lorsqu'elle a m lignes et n colonnes.

-Pour désigner facilement les coefficients,on utilise les doubles indices, par exemple :

A=(a11 a12 a13)

      a21 a22 a23

Le premier indice indique le numéro de ligne, le deuxième indice indique le nombres de colonne.

Exercices :

-soit    A=(1 2 -5)

                 3 7 8

Quelle est la taille de A ?

Sa taille est de 2 fois 3 puisqu'elle a deux lignes et trois colonnes.

Donner les valeurs des coefficients a23, a12 et a22.

a23=8;a12=2;a22=7

-Ecrire la matrice 3*2 qui a tous ses coefficients égaux à 1.

Il s'agit de A=(1 1)

                       1 1

                       1 1

Voc :

Une matrice n*n est appelé matrice carrée, par exemple :

A=(1 2 3

      4 5 6

      7 8 9         est de taille 3, carrée.

Une matrice qui n'a qu'une colonne est appelé matrice colonne, par exemple,

C=(1

      -1

      2

Une matrice qui n'a qu 'une ligne est appelé matrice ligne, par exemple,

L=(1 2 0 -1)

Une matrice carrée qui a tous ses coefficient nuls, sauf evantuellement sur la diagonale, est appelée matrice diagonale, par exemple :

D=(-1 0 0        N=(-12 0

       0  0 0                0  7

       0  0 3

La matrice diagonale de taille n dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1 s'apelle la matrice identit, on la note In :

I3=(1 0 0     voir diapo 9

       0 0

Definition :

La transposée d'une matrice M est la marice notée tM définie par : « les lignes de tMsont les colonnes de M »

Ex : M=(1 2 3

              4 5 6

Que vaut tM ? TM=(1 4

                                 2 5

                                 3 6

OPERATIONS SUR LES MATRICES

1)L'addition des matrices se fait à terme pour des matrices de meme taille.

Exemple :

2)La multiplication des matrices par un réel se fait en multipliant chaque coefficient.

Exemple:

  1. Multiplier deux matrices entre elles

On ne peut pas toujours multiplier deux matrices entre eles, cela dépend de leur taille. La multiplication n'est pas définie terme à terme.

Exemple de produit fondamental : le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne qui a le meme nombre de coefficients.

Exemple 1 : L=(2 1 5),   C=(0

                                              -1

                                              1

La matrice ligne a 3 coefficient, tout comme la matrice colonne, onva pouvoir faire le produit LC. Le résultat de ce produit de matrices est simplement un nombre : LC= : 2*0+ 1*(-1) + 5*1 = 4

Exemple 2 : L=(3 2), C=(4

                                        5

On a de meme : LC= 3*4+2*5=22

Cas général :

  1. On multiplie deux matrices entre elles que si le nombre de colonnes de la matrices de gauche est égal au nombre de lignes de la matrice de droite.
  2. Le coefficient de la matrice produit situé à la ligne i et la colonne j est « le produit de la ligne i de la matrice de gauche par la colonne j de la matrice de droite ».
  3. Si A est une matrice n*p et B une matrice p*s, la matrice produit AB sera de taille n*s.

Exemple 1 : A=(2 5 4            B=(-2 0 0)

                          1 0 -9                 0 1 -1

                                                     5 0 4

  1. Le nombre de colonne de A, à savoir 3, est égal au nombre de lignes de B, donc le produit AB existe.

        (C1 C2 C3)

(L1) (L1C1 L1C2 L1C3)

(L2) (L2C1 L2C2 L2C3)

             (-2 0 0)

               0 1 -1

               5 0 4

(2 5 4)  (16 5 11)

 1 0 -9   -47 0 -36

  1. Le nombre de colonne de B, à savoir 3, est différent du nombre de lignes de A, à savoir 2. Donc le produit BA n'est pas faisable.

Exemple 2 :

A=(1 2)      B=(1 2)

      3 4              4 5

Justifier l'existence de AB et BA et calculer ces deux produits.

-Le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B, donc le produit AB est défini

-De meme, le nombre de colonnes de B est égal au nombre de lignes de A, donc le produit BA est défini.

...

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