Cours sur les matrices

I.

FICHE ALGÈBRE LINÉAIRE N°3 – L’ENSEMBLE DES MATRICES (COURS) DÉFINITIONS

2) On appelle matrice identité d’ordre 𝑛, la matrice 𝐼􏰏 = 􏰗𝑎􏰉􏰊􏰘 ∈ 𝑀􏰏(R) définie par : 􏰙𝑎􏰉􏰉 =1∀𝑖∈⟦1;𝑛⟧.

𝑎􏰉􏰊 =0si𝑖≠𝑗

100 Par exemple, 𝐼􏰅 = 􏰀0 1 0􏰁.

001

Définition : Soit A une matrice quelconque de 𝑀􏰏,􏰔(R). On appelle transposée de A la matrice de 𝑀􏰔,􏰏(R) notée 􏰆𝐴 obtenue à partir de A en échangeant les lignes et les colonnes. Autrement dit, si 𝐴 = 􏰗𝑎􏰉􏰊􏰘 alors 􏰆𝐴 = 􏰗𝑎􏰊􏰉􏰘.

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Exemple2:Si𝐴=􏰋123􏰌alors􏰆A=􏰀2 5􏰁 456 36

Remarque : Soit A une matrice quelconque de 𝑀􏰏,􏰔(R). Alors 􏰆(􏰆A ) = 𝐴.

Définition : Deux matrices sont égales si elles sont de même dimension et si les éléments de même adresse (même ligne, même colonne) sont égaux.

Autrement dit, soit 𝐴 = 􏰗𝑎􏰉􏰊􏰘 et 𝐵 = 􏰗𝑏􏰉􏰊􏰘 deux matrices de même dimension 𝑛 × 𝑝. 𝐴=𝐵sietseulementsi𝑎􏰉􏰊=𝑏􏰉􏰊 ∀(𝑖,𝑗)∈⟦1;𝑛⟧×⟦1;𝑝⟧.

Définition : Soit n et p deux entiers naturels non nuls, on appelle matrice à n lignes et p colonnes (on dit aussi de dimension 𝑛 × 𝑝 ou d’ordre (𝑛; 𝑝)) un tableau rectangulaire de réels comportant n lignes et p colonnes.

Notations : Colonne j

𝑎 ⋯ ⋯ 𝑎􏰂,􏰔

􏰂,􏰂 ⎛⋮⋱𝑎⋮⎞

- 𝐴 = ⎜ 􏰉,􏰊 ⎟ ligne i ⋮⋱⋮

⎝𝑎􏰏,􏰂 ⋯ ⋯ 𝑎􏰏,􏰔⎠

Les éléments 𝑎􏰉􏰊 s’appellent les coefficients de la matrice A.

Par convention, le premier indice est le numéro de la ligne, le deuxième indice est le numéro de la colonne.

-Onnote𝐴=(𝑎􏰉,􏰊)􏰂􏰖􏰉􏰖􏰏 ous’iln’yapasd’ambiguïté:𝐴=(𝑎􏰉,􏰊)

􏰂􏰖􏰊􏰖􏰔

- On note M􏰏,􏰔(R) l’ensemble des matrices de dimension 𝑛 × 𝑝 à coefficients dans R.

- Si 𝑛 = 𝑝 on dit qu’on a une matrice carrée. Une matrice carrée de dimension 𝑛 × 𝑛 est dite d’ordre 𝑛. L’ensemble des matrices carrées d’ordre 𝑛 à coefficients dans R est noté 𝑀􏰏(R).

Exemples 1 :

􏰋 2 −2 3 1 􏰌 est une matrice de dimension 2 × 3 et son coefficient 𝑎􏰂􏰄 = −2, alors 0 −1 1 3

que 𝑎􏰄􏰂 = 0. 01

􏰐 −3 􏰒 est une matrice de dimension 4 × 1. −1

On dit aussi matrice colonne ou vecteur colonne.

(1 0 3) est une matrice de dimension 1 × 3. On dit aussi matrice ligne ou vecteur ligne.

2−15

􏰀 2 1 7􏰁 est une matrice carrée d’ordre 3.

−1 34

Matrices particulières :

1) On appelle matrice nulle toute matrice 􏰗𝑎􏰉􏰊 􏰘 telle que ∀(𝑖, 𝑗) ∈ ⟦1; 𝑛⟧ × ⟦1; 𝑝⟧, 𝑎􏰉,􏰊 = 0. On la note : (0) ou 0􏰏,􏰔 ou simplement 0.

Par exemple, 0􏰄,􏰅 = 􏰋0 0 0􏰌. 000

𝑥−𝑦 0

Exemple 3 : Soit 𝐴 = 􏰍 􏰎. Alors 𝐴 = 0 ⟺ 􏰙

𝑥−𝑦=0 2𝑥 + 𝑦 = 0

𝑥=𝑦

⟺ 􏰚

.

0 2𝑥 + 𝑦

𝑥 = 0

II. OPERATIONS SUR LES MATRICES

1. Addition

Définition : Soit 𝐴 = 􏰗𝑎􏰉􏰊􏰘 et 𝐵 = 􏰗𝑏􏰉􏰊􏰘 deux matrices de 𝑀􏰏,􏰔(R).

On appelle somme de A et B la matrice de 𝑀􏰏,􏰔(R) notée 𝐴 + 𝐵, dont les coefficients sont 𝑐􏰉􏰊=𝑎􏰉􏰊+𝑏􏰉􏰊 ∀(𝑖,𝑗)∈⟦1;𝑛⟧×⟦1;𝑝⟧.

Exemple4:􏰋1 −2 3􏰌+􏰋1 3 5􏰌=􏰋2 1 8􏰌 0 −1 2 1 2 6 1 1 8

Propriétés : Quel que soit les matrices A, B et C de 𝑀 (R) : 􏰏,􏰔

 𝐴 + 𝐵 ∈ 𝑀􏰏,􏰔(R) (L’addition des matrices est une loi de composition interne)

 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 (L’addition des matrices est commutative)

 (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) (L’addition des matrices est associative)

 0 + 𝐴 = 𝐴 + 0 = 𝐴 (L’élément neutre pour l’addition est la matrice nulle)

 Il existe une matrice opposée pour toute matrice A, notée −𝐴, telle que :

(−𝐴)+𝐴=𝐴+(−𝐴)=0:C’estlamatrice−𝐴=􏰗−𝑎􏰉􏰊􏰘.

 􏰆(𝐴 + 𝐵) = 􏰆𝐴 + 􏰆𝐵

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2. Multiplication par un réel

Définition : ∀𝐴 = 􏰗𝑎􏰉􏰊􏰘 ∈ 𝑀􏰏,􏰔(R)et ∀𝜆 ∈ R, on appelle produit de A par 𝜆 la matrice de

𝑀􏰏,􏰔(R) notée 𝜆𝐴 dont les coefficients sont 𝑐􏰉􏰊 = 𝜆𝑎􏰉􏰊 ∀(𝑖, 𝑗) ∈ ⟦1; 𝑛⟧ × ⟦1; 𝑝⟧.

Cas particulier : Le produit d’un vecteur ligne par un vecteur colonne (de même longueur)

1 −2 3 −3 6 −9 Exemple5:−3􏰋 􏰌=􏰋

𝑦􏰂 𝑦􏰄

(𝑥􏰂 𝑥􏰄 ... 𝑥􏰏)⎛.⎞=𝑥􏰂𝑦􏰂+𝑥􏰄𝑦􏰄+⋯+𝑥􏰏𝑦􏰏

􏰌 Propriétés:∀𝐴∈𝑀 (R),∀𝐵∈𝑀 (R)et∀𝜆et𝜇deuxréels.

⎜ ⎟ .

􏰏,􏰔

...