Les séries numériques
Compte rendu : Les séries numériques. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar Audynium Forum • 23 Septembre 2020 • Compte rendu • 13 953 Mots (56 Pages) • 360 Vues
[pic 1]
On fixe dans ce chapitre le corps ® = ®
Généralités
Suites et séries
ou 4.
Définition :
On appelle série à termes dans ® tout couple ((un )n∈Æ , (Sn )n∈Æ )
[pic 2]
que ∀n ∈Æ, Sn = Σuk .
k =0
de suites de ® tel
On appelle un le n-ième terme général de la série et Sn la n-ième somme partielle.
Remarque 1 :
La donnée du terme général un
Σun .
n≥0
suffit à déterminer la suite, qu’on notera alors
Remarque 2 :
Si (un )n≥n
est une suite définie à partir d’un rang n0 , on notera Σun
n≥n0[pic 3]
la série de
terme général vn
= { 0 si n < n0
⎝un si n ≥ n0[pic 4]
n
La n-ième somme partielle vaut alors Sn = Σuk
k=n0
pour n ≥ n0 .
[pic 5]
Démonstration :
S (®) est un sous-espace vectoriel de (®Æ )2 , noyau de l’application linéaire
(®Æ )2 → ®Æ
(u,S) { S − Σu ⎞[pic 6]
- | n
⎝
k =0
k |
⎠n∈Æ
Séries convergentes
Définition :
On dit que la série Σun , à termes dans ®, est convergente lorsque la suite
n≥0
{ n[pic 7]
|
⎝ k =0
⎞
uk |
⎠n∈Æ
converge.
+∞ n
On notera alors S = Σun = lim Σuk .
n=0
+∞
k→+∞ k=0
Attention : la notation Σun
n=0
n’a de sens que pour une série convergente.
Remarque :
+∞[pic 8]
On notera un
n=n0
la somme d’une série convergente Σun .
n≥n0
[pic 9]
Démonstration :
Soient Sn et S'n les n-ièmes sommes partielles de Σun
n≥0
et Σun .
n≥n0
Pour
n ≥ n0 , on a :
n n0 −1 n n0 −1
Sn = Σuk = Σuk + Σuk = Σuk + S'n .
k =0
k =0
k =n0
k=0
Donc les deux suites (Sn )n∈Æ et (S'n )n∈Æ on la même nature, et si elles convergent,
n0 −1
on a alors lim Sn = Σuk + lim S'n .
n→+∞
k=0
n→+∞
Définition :
Si Σun
n≥0
est une série convergente, on appelle n-ième reste de Cauchy de la série
...