TP Physique, chute dans un fluide

TP2 CHUTTE DANS UN FLUIDE

INTRODUCTION

Dans ce TP, nous étudierons le mouvementt d’un corps lâché sans vitesse initial dans un fluide. Le système étudié est un tube à essai rempli de quatre billes en métal et d’un volume précis d’eau. Le matériel utilisé pour cette étude sera donc constitué d’un tube à essais avec son bouchon, des billes en acier, d’un gros tube à essais contenant l’eau dans lequel le tube à essais lesté sera immergé ainsi qu’une webcam pour filmer la chute. Dans une première partie, nous ferons une étude théoriquement du système. Dans un second temps, nous procèderons à une étude expérimentale de ce système avec une vidéo qui nous permettra de décomposer le mouvement avec un pointage sur AviMéca, et obtiendrons des valeurs qui seront, par la suite, analysées sur Regressi. Nos résultats expérimentaux combinés à nos équations théoriques nous permettront de déduire le coefficient de frottement k. Nous recommencerons l’expérience avec un système plus lourd pour comparer nos valeurs de k et conclure.

Première partie : Étude théorique du système

Dans cette première partie, nous allons réaliser une étude théorique du système « tube lesté »

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le système « tube lesté » est soumis à

• Son poids P
• La poussée d’Archimède A
• La force de frottement f

• Application du principe fondamental de la dynamique :

∑𝐹 = 𝑚𝑎 ⇔ ∑𝐹 = 𝑓 + 𝐴 ⃗ + 𝑃⃗

 ⇔ 𝑚𝑎 = -𝑘𝑣 - 𝜌𝑉𝑔 + 𝑚𝑔 

⇔ 𝑚𝑣̇ = -𝑘𝑣 - 𝑔(𝑉𝜌 − 𝑚)

⇔ 𝑚𝑣̇ + 𝑘𝑣 = -𝑔(𝑉𝜌 − 𝑚)

⇔ 𝑣̇ + 𝑘 v/m = -(𝑉𝜌/ 𝑚 − 1)

• Calcul de l’équation de la vitesse :

Pour ce faire, nous allons résoudre une l’équation différentielle du premier ordre avec second membre. Tout d’abord, nous cherchons une solution v de l’équation homogène, c’est-à-dire sans second membre.

𝑚𝑣̇ + 𝑘𝑣 = 0      ⇔ 𝑣̇ + 𝑘 v/m = 0

⇔ 𝑣̇ = -𝑘 v/m

⇔ 𝑣̇/ 𝑣 = -𝑘 /𝑚

 ⇔ 𝑣 =A∗𝑒xp(-𝑘t/m) avec A une constant réelle

 Recherchons maintenant une solution particulière v’ de cette équation:

Pour : 𝑣̇=0 On obtient donc : 𝑣’ = − 𝑚/𝑘 ∗ 𝑔 ∗ (𝑉𝜌/𝑚 − 1)

Recherchons finalement la solution globale :

On a donc (𝑡) = A∗exp(-𝑘t/𝑚) + 𝑚 𝑘 ∗ 𝑔(1 – 𝑉𝜌/m)

On peut maintenant déterminer grâce aux conditions initiales la constante A :

À t=0s on a v(0)=0m/s Donc 0= A + 𝑚/𝑘 ∗ 𝑔 (1 – 𝑉𝜌/m) ⇔ A = 𝑚/𝑘 ∗ (𝑉𝜌/𝑚 − 1) Finalement on a : 𝑣(𝑡) = 𝑚/𝑘 ∗ 𝑔(𝑉𝜌/𝑚 − 1) ∗ 𝑒xp(-𝑘t/𝑚) – 𝑚/𝑘 ∗ 𝑔(𝑉𝜌/𝑚 − 1)

⇔ (𝑡) = 𝑚/𝑘 ∗ 𝑔 ( 𝑉𝜌/𝑚 − 1) ∗ (1 − 𝑒xp(-𝑘t/m)

• Détermination de l’équation de la position (𝑡) :

 On doit intégrer une fois la vitesse. Posons S=− 𝑚/𝑘 ∗ 𝑔 ( 𝜌/𝑚 − 1) On obtient alors :

(𝑡) = S ∗ 𝑚 𝑘 ∗ 𝑒xp(- 𝑘t/𝑚) + 𝐴 ∗ 𝑡 + 𝐶𝑠𝑡𝑒, On peut alors en déduire que 𝐶𝑠𝑡𝑒 = − 𝑚^2/𝑘^2 ∗ 𝑔 (V𝜌/𝑚 − 1) et donc

(𝑡) = S ∗ 𝑚/𝑘 ∗ 𝑒xp(-𝑘t/m) + S ∗ 𝑡 – m^2/k^2 ∗ 𝑔 (𝑉𝜌/𝑚 − 1) soit

z(t)= m/𝑘*g (1 – ρ𝑉/m)[(𝑡 + 𝑚*𝑒xp(−kt/m)/k – 𝑚/𝑘 )]

• Détermination de la quantité d’eau à ajouter pour une décente lente

Une descente lente du tube à essai lesté dans le fluide sous-entend une vitesse très faible et donc une négligence des frottements

En appliquant le PFD dans ce nouveau cas au système on a :

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