Valeur absolue

Seconde

CHAPITRE 7 VALEUR ABSOLUE

4. VALEUR ABSOLUE D’UN NOMBRE RÉEL Activité1 1. Sur la droite graduée d’origine O, placer les points A(3), B(−2), C7 2et D(−1,3).

x

A •

O

0

I

1

B •

C •

D •

2. Déterminer les distances OA, OB, OC et OD. OA=xA−xO =3−0=3 OB =xO−xB =0−(−2)=0+2=2

OC =xC −xO =3,5−0=3,5 OD =xO−xD =0−(−1,3)=0+1,3=1,3

La distance entre deux réels a et b est la distance des points A et B d’abscisses respectives a et b sur la droite numérique.

Définition1

La distance entre deux points de la droite numérique des réels est la différence entre l’abscisse la plus grande et l’abscisse la plus petite.

Propriété1

Exemple1 :

x

A • −4,5

O 0 1

B •2 ,29

AB =2,29−(−4,5)=2,29+4,5=6,79. Par convention, on dit que la distance entre les nombres réels2,29et4,5vaut6,79.

3. Compléterleprogrammeci-dessouspourqu’ildemandel’abscissed’unpoint M,calculeetaffichelavaleurde la distance OM. x=float(input("Saisir l'abscisse de M:")) if x>=0 : distance=x print("La distance OM est égale à", distance) else : distance=-x print("La distance OM est égale à", distance)

4. Pour toute valeur de x saisie, la valeur égale à la distance OM affichée est appelée la valeur absolue de x et est notée|x|. Déterminer|5|,|−3,4|et|2−π|.

Chapitre 7 : Valeur absolue 1

Seconde |5|=5 |−3,4|=3,4 |2−π|=π−2 a) Définition

Soit x un nombre réel et M le point d’abscisse x sur la droite graduée d’origine O. Lavaleurabsoluedu nombre x est égale à ladistanceentre x et0. On la note OM =|x|.

Définition2

La valeur absolue d’un nombre réel x est tel que : |x|=( x si a>0 −x si a <0

Propriété2(admise)

Remarque: Pour tout réel x, on a|x|>0, car il s’agit d’une distance. Exemple2 : |4|=4car4est positif. |−1,5|=−(−1,5)=1,5car−1,5est négatif.

Soit A et B les points d’abscisses respectives a et b sur une droite graduée munie d’une origine et d’une graduation. La distance entre a et b est égale à|a−b|.

Propriété3

Démonstration1: Soit A et B les points d’abscisses respectives a et b sur une droite graduée munie d’une origine et d’une graduation. Si a>b alors AB =a−b. De plus a−b>0, donc|a−b|=a−b et alors AB =|a−b|. Si a < b alors AB =b−a. De plus a−b <0, donc|a−b|=−(a−b)=−a+b=b−a et alors AB =|a−b|. Conséquence: Comme AB=BA alors|a−b|=|b−a| Deux réels opposés ont la même valeur absolue :|−x|=|x|. Exemple3 : |3−7|=|7−3|=4 |3−π|=|π−3|=π−3

Chapitre 7 : Valeur absolue 2

Seconde

Exercice1 : Calculer sans calculatrice : 1. |−4|=4 2. |3,8|=3,8 3. 

 − 100 3 

 = 100 3 4. |5−6|=1 5. |√17−2|=√17−2 6. |2−√17|=√17−2

7. |5−π|=5−π 8. 

 8−2 3

 = 22 3 9. 

...