Probabilité et Dénombrement

[pic 1]

Dénombrement

• Arrangement, Permutation, Combinaison

n et p sont des nombres entiers naturels non nuls. E un ensemble à n éléments.

• Arrangement 

• Un arrangement de p éléments de E ou p-arrangement d'éléments de E est tout p-uplet d'éléments de E deux à deux distincts [pic 2].
• Le nombre d'arrangements de p éléments d'un ensemble à n éléments est noté [pic 3] et défini par [pic 4]

• Permutations

• On appelle permutation des n éléments de E tout arrangement de n éléments de E.
• On appelle factorielle n le nombre entier naturel noté [pic 5] et défini par  [pic 6] 

        Par convention [pic 7] et [pic 8]

• Le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments est [pic 9]
• n et p deux nombres entiers naturels tels que [pic 10] on a : [pic 11];   [pic 12].

• Combinaison

• On appelle combinaison de p éléments de E à n éléments tout sous ensemble (toute partie) de E ayant p éléments [pic 13].
• Le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble à n éléments est tel que [pic 14]
• Soit n et p deux nombres entiers naturels tels que [pic 15] on a : [pic 16] et [pic 17].

Synthèse

On considère une urne de  n  boules distinguables, où on effectue  p  tirages successifs. Combien il y a-t-il de tirages possibles ?[pic 18]

1. On considère un groupe de 10 personnes. Chaque personne du groupe est soit sélectionnée, soit éliminée pour participer à un concours. Combien y a-t-il de sélections différentes ?

1. Trois personnes veulent manger chacune un gâteau. Il y a cinq gâteaux. Combien y a-t-il de choix possibles ?

1. Dans une chaîne de fabrication, une pièce doit passer sur cinq machines A, B, C, D, E.

1. Combien y a-t-il de trajets possibles ?
2. Combien y a-t-il de trajets possibles si la pièce doit d'abord passer sur la machine E ?
3. Combien y a-t-il de trajets possibles si la pièce doit passer sur la machine B avant de passer sur la machine E?
4. Combien y a-t-il de trajets possibles si la pièce doit passer sur la machine B avant de passer sur la machine E et D?

1. Dans un sac, il y a : quatre boules bleues, trois boules blanches, deux boules rouges et une boule verte. On prend simultanément trois boules.

Quel est le nombre de possibilités d'avoir :

1. Trois boules de même couleur ?
2. Trois boules de couleurs différentes ?
3. Au moins deux boules de même couleur ?
4. Exactement une boule blanche?
5. Aucune boule bleue ?
6. Au moins une boule bleue ?

1. Une urne contient neuf boules numérotées de 1 à 9.

1. De combien de façons différentes est – il possible de tirer trois boules simultanément de l'urne?
2. Combien de tirages font-ils apparaître trois numéros pairs ?
3. Combien de tirages font-ils apparaître un numéro pair et deux numéros impairs ?
4. Pour combien de tirages la somme des trois numéros tirés est-elle paire ?
5. Parmi les neuf boules de l'urne, il y a cinq boules blanches, trois boules rouges et une boule verte. Si l'on tire simultanément trois boules de cette urne, combien y a-t-il de tirages comportant :

1. des boules ayant la même couleur ?
2. des boules ayant des couleurs distinctes (deux à deux)?
3. Exactement  deux boules de même couleur ?
4. Reprendre les a), b) et c) (précédentes) si l'on tire trois fois successivement une boule sans remise.

Probabilité d'un événement

1. Vocabulaire                

                Définitions

• On appelle épreuve aléatoire ou expérience aléatoire, toute épreuve ou expérience dont les résultats sont dus à l'effet du hasard.
• Un résultat d'une épreuve aléatoire est une éventualité.
• L'ensemble des éventualités d'une expérience aléatoire est l'univers noté souvent U ou [pic 23].
• Un événement est une partie ou un sous ensemble de l'univers.
• Un événement est dit :

• Elémentaire lorsqu'il contient un seul élément.
• Impossible lorsqu'il est l'ensemble vide.
• Certain lorsqu'il est l'univers.

•  Soit A et B deux événements de l'univers U  d'une expérience aléatoire.

• L'événement " A ou B" est la réunion de ces deux événements noté  AB.
• L'événement " A et B" est l'intersection de ces deux événements noté  AB.

• Si l'événement "A et B" est impossible (c'est-à-dire AB=) alors l'événement A et l'événement B sont incompatibles.
• L'événement contraire de A noté [pic 24] est le sous ensemble complémentaire de A dans U 

(A= U  et A=)

1. Définition de la probabilité d'un événement

1. Définition de la probabilité

• Soit U   l'univers associé à une expérience aléatoire. Une probabilité sur l'univers U   est une application p de l’ensemble des parties de U  vers [pic 25], qui à toute partie A de U   associe le nombre réel P(A) appelé probabilité de l'événement A et qui vérifie les conditions suivantes :

• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.
• La probabilité de l'événement certain est 1 ([pic 26])
• La probabilité de l'événement impossible est 0 (P(=0).

1. Définition de la probabilité dans le cadre de l'équiprobabilité

• Lorsque les événements élémentaires ont tous la même probabilité de se produire, on dit qu'ils sont équiprobables.
• Dans cette situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A est donnée par : [pic 27]

Remarque :

Les situations d'équiprobabilité sont généralement suggérées par les expressions comme : "dé parfait" , "dé non pipé", "pièce parfaite", "boules indiscernables au toucher", "cartes bien battues", "tirage au hasard"…

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