Polynome

1 L’ensemble K[X]

Définition. On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans K toute somme de la forme P =

nP

k=0

akXk où

n ∈ N et a0, a1, ..., an ∈ K sont appelés coefficients du polynôme et X est l’indéterminée.

Un polynôme n’ayant qu’un coefficient non nul est appelé monôme.

On note K[X] l’ensemble des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K.

Notons que l’on peut écrire P =

∞ P

k=0

akXk en posant ak = 0 pur k > n : la somme est finie car presque tous les termes sont nuls.

Proposition. Égalité de deux polynômes :

∞ P

k=0

akXk =

∞ P

k=0

bkXk ⇔ ∀k ∈ N, ak = bk.

En particulier, le polynôme nul est le seul polynôme ayant tous ses coefficients nuls.

Remarque. Un polynôme dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d’indice 0 est constant : il est du type λ où λ ∈ K∗.

On en déduit l’inclusion K ⊂ K[X] et comme R ⊂ C, on a aussi l’inclusion R[X] ⊂ C[X].

Définition. Soient P =

nP

k=0

akXk et Q =

mP

k=0

bkXk deux polynômes et λ ∈ K. On définit alors les opérations :

• λP =

nP

k=0

λakXk,

• PQ =

n+m

Pk

=0

P

i+j=k

aibj! Xk,

• P + Q =

max(n,m)

Pk

=0

(ak + bk)Xk,

• P ◦ Q =

nP

k=0

akQk =

nP

k=0

ak iP=0 m biXik.

L’opération de composition permet en particulier de justifier l’écriture P(X) = P des polynômes.

Définition. Soit P =

nP

k=0

akXk un polynôme non nul à coefficients dans K.

On appelle degré de P l’entier naturel deg(P) = max{k ∈ N, ak 6= 0} et adeg(P ) appelé coefficient dominant de P.

Un polynôme dont le coefficient dominant est égal à 1 est dit unitaire.

On pose, par convention, deg(0) = −∞.

On note Kn[X] l’ensemble des polynômes de degré au plus n.

Un polynôme qui s’écrit P =

nP

k=0

akXk est de degré inférieur ou égal à n ∈ N et il est de degré n si et seulement si an 6= 0.

Exemple. 1, X, X2 sont des polynômes de R2[X] et tout polynôme de R2[X] est combinaison linéaire de ces trois polynômes.

Ce sont aussi des polynômes de R3[X] mais ne permettent pas d’écrire tous les polynômes de R3[X].

Proposition. Soient A et B deux polynômes de K[X].

1. deg(A + B) 6 max(deg A, deg B). De plus, si deg A = deg B alors deg(A + B) = max(deg A, deg B).

2. deg(AB) = deg A + deg B

Démonstration. Soient A et B deux polynômes de K[X].

1. Si A = B = 0 alors A + B = 0 et l’égalité est vérifiée.

Sinon notons n = max(deg A, deg B) alors il existe deux suite (ak) et (bk) d’éléments de K telles que

A =

nP

k=0

akXk et B =

nP

k=0

bkXk. On a alors A + B =

nP

k=0

(ak + bk)Xk et donc deg(A + B) 6 n = max(deg A, deg B).

De plus, si deg A 6= deg B alors un (et un seul) des deux coefficients an et bn est nul donc an + bn 6= 0.

Ainsi an + bn est le coefficient dominant de A + B qui est donc de degré n.

Plus généralement : ∀(A, B) ∈ K[X]2, ∀(λ, µ) ∈ K2, deg(λA + µB) 6 max(deg A, deg B).

2. Si A = 0 ou B = 0 alors AB = 0 et l’égalité est vérifiée.

Sinon, notons n = deg A et m = deg B alors il existe deux suite (ak) et (bk) d’éléments de K telles que

A =

nP

k=0

akXk et B =

mP

k=0

bkXk. On a alors AB =

n+m

Pk

=0

P

i+j=k

aibj! Xk donc deg(AB) 6 deg A + deg B.

De plus le coefficient d’indice n + m est P

i+j=n+m

aibj = anbm 6= 0 donc est

...