Mathématiques : le second degré

Le second degré (1ère partie)

I. Fonctions polynômes du second degré (rappels de 2nde)

1. Définition et forme canonique

Définition n°1 :

On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction ff définie sur \mathbb{R}R par :

f(x) = ax² + bx + cf(x)=ax²+bx+c, avec aa, bb et cc des réels donnés, aa non nul.

Remarque : Cette expression est aussi appelée trinôme.

Théorème n°1 :

Toute fonction polynôme du second degré, définie sur \mathbb{R}R par : f(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax

2

+bx+c (avec aa, bb et cc réels, aa non nul) peut s'écrire sous la forme :

f(x) = a(x - \alpha)^2 + \betaf(x)=a(x−α)

2

+β, avec \alphaα et \betaβ deux réels.

Cette expression est appelée forme canonique de f(x)f(x).

Exemple :

Soit le polynôme du second degré : f(x) = 3x^2 - 6x + 4f(x)=3x

2

−6x+4.

Vérifions que sa forme canonique est : 3(x - 1)^2 + 13(x−1)

2

+1.

On développe :

3(x - 1)^2 + 1 = 3(x^2 - 2x + 1) + 1 = 3x^2 - 6x + 3 + 1 = 3x^2 - 6x + 4 = f(x)3(x−1)

2

+1=3(x

2

−2x+1)+1=3x

2

−6x+3+1=3x

2

−6x+4=f(x)

Donc 3(x - 1)^2 + 13(x−1)

2

+1 est la forme canonique de f(x)f(x).

Remarque : On a : \alpha = \frac{-b}{2a}α=

2a

−b

​

et \beta = f(\alpha)β=f(α)

2. Variations et représentation graphique

Si a > 0a>0 Si a < 0a<0

tableau de variation pour a>0 tableau de variation pour a<0

courbe représentative pour a>0 courbe représentative pour a<0

Remarque : La représentation graphique d'une fonction du second degré est une parabole de sommet S(\alpha;\beta)S(α;β).

II. La résolution des équations du second degré

Dans tout le paragraphe, on considère l'équation du second degré ax^2 + bx + c = 0ax

2

+bx+c=0 avec aa, bb et cc des réels donnés et aa non nul.

1. Calcul du discrimant d'une équation polynômiale du second degré

Définition n°2 :

On appelle discriminant du polynôme du second degré ax^2 + bx + cax

2

+bx+c et on note \DeltaΔ (lire "delta") le nombre défini par :

\Delta = b^2 - 4acΔ=b

2

−4ac

Le discriminant va nous permettre de déterminer les solutions (si elles existent) de l'équation.

Théorème n°2 :

Soit \DeltaΔ le discriminant du polynôme du second degré axax² + bxbx + cc.

Si \Delta > 0Δ>0, alors l'équation ax^2 + bx + c = 0ax

2

+bx+c=0 admet deux solutions réelles :

x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}x

1

​

=

2a

−b+

Δ

​

​

et x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}x

2

​

=

2a

−b−

Δ

​

​

Si \Delta = 0Δ=0, alors l'équation ax^2 + bx + c = 0ax

2

+bx+c=0 admet une unique solution réelle :

x_0 = \frac{-b}{2a}x

0

​

=

2a

−b

​

Si \Delta < 0Δ<0, alors l'équation ax^2 + bx + c = 0ax

2

+bx+c=0 n'admet pas de solution réelle.

Vocabulaire :

Les solutions de l'équation ax^2 + bx + c = 0ax

2

+bx+c=0 sont appelées les racines du polynôme du second degré f(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax

2

+bx+c.

Exemples :

Résoudre les équations suivantes :

2x^2

...