Les probabilités

Les probabilités

Exercice 65 page 273 :

• X la variable aléatoire qui, à chaque client d’un détaillant de matériel informatique tiré au hasard parmi les clients d’un mois donné, associe le montant  total de ces achats en euros.
• X suit une loi de moyenne m = 550 et écart type s = 195

1. La probabilité que le montant de ces achats soir inférieur ou égale à 600€

→ [pic 1]

1. Le montant de ces achats est de 400€ au moins

→[pic 2]

1. Le montant de ses achats est compris entre 400€ et 800€

→ [pic 3]

Exercice 70 page 275 :

• La probabilité qu’une lettre, prélevée au hasard dans le courrier d’une entreprise, parvienne à son destinataire en France le lendemain : p = 0,7

• Expédition de 100 lettres par jour
• X, la variable aléatoire qui, à un jour tiré au hasard, associe le nombre de lettres qui parviendront à leur destinataire le lendemain.

1. « Il s’agit d’une succession de 100 expériences aléatoires, identiques et indépendantes les unes des autres.

Chacune aboutit à deux résultats contraires :

• le succès : les lettres parviendront à leur destinataire le lendemain avec une probabilité p=0,7
• l’échec : les lettres ne parviendront pas à leur destinataire le lendemain avec une probabilité q = 1-p → q = 1-0,7 = 0,3

La variable aléatoire X mesurant le nombre de succès (lettres parvenues le lendemain à leur destinataire) suit ainsi la loi binomiale B(100 ; 0,7)

1. L’espérance mathématique : avec n=100 et p=0,7

E(X) = np → 100*0,7 = 70

Ecart type de  → 4,6[pic 4]

1. La probabilité que 60 lettres exactement, sur les 100 expédiées un jour tiré au hasard parviennent à leur destinataire le lendemain : P(X=60) = 0,0085

• Rapprochement de la loi de la variable discrète X par la loi normal

1. [pic 5]

1. Y une variable aléatoire suivant de cette loi normal
   La probabilité qu’au moins 80 des 100 lettres, expédiées un jour tiré au hasard, parviennent à leur destinataire le lendemain : [pic 6]

1. La probabilité que le nombre de lettres, sur les 100 lettres expédiées un jour choisi au hasard, parvenant à leur destinataire le lendemain soit compris entre 55 et 85 : P(54,5

Sujet C page 349 

1. Le temps d’attente moyen : 10/2 = 5 min

1. La probabilité qu’un jour donné M. Dulac attende plus de 7 min à l’embarcadère est p = 0,3

→ = 0,3 [pic 7]

1. Il s’agit d’une succession de 10 expériences aléatoires, identiques et indépendantes les unes des autres.

Chacune aboutit à deux résultats contraires :

• le succès : M. Dulac attend plus de 7 minutes avec une probabilité p=0,3
• l’échec : M. Dulac attend moins de 7 minutes avec une probabilité q = 1-p → q = 1-0,3 = 0,7

La variable aléatoire X mesurant le nombre de succès (M. Dulac attend plus de 7 min) suit ainsi la loi binomiale B(10 ; 0,3)

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