Les polynômes du second degrés

Le second degré

Sommaire

I-Les polynômes du second degrés

II-La forme canonique

III-La forme factorisé

IV-Représentation

V-Ce qu’il faut retenir

VI-Exercices

I-Les polynômes du second degrés

Un polynôme du second degrés, c’est une fonction sous la forme avec et a, b et c des nombres réels.

Exemples :

f(x) =2x²+8x+3

g(x) = -3x²+7x-1

II-La forme canonique :

La forme canonique est un autre moyen d’écrire une fonction la fonction du polynôme du second degré. Elle s'écrit sous la forme

Calcul de alpha () :

Alpha se calcule grâce à une formule qu’il faut ABSOLUMENT connaître :

Exemples :

f(x) = 2x²+8x+3 g(x)= -3x²+7x-1

Calcul de Bêta () :

Bêta peut se calculer de deux façons différentes, la première a retenir ABSOLUMENT est que =f(). Donc que pour trouver bêta, on reprend notre polynôme du second degrés et on remplace tous les par la valeur de

La deuxième qui n’est pas à retenir est

Exemples :

f(x) = 2x²+8x+3 et g(x)= -3x²+7x-1 et

Forme canonique complète :

f(x) = 2x²+8x+3 et et g(x)= -3x²+7x-1 et et

f(x) = 2(x-)²+27 g(x)= -3(x-7/6)²+11/3

III-Forme factorisée :

La forme factorisée est encore un autre moyen d’écrire le polynôme du second degré (oui je sais il y en a beaucoup). Elle se trouve sous la forme avec x1 et x2 les racines du polynômes. Elles se calculent grâce au discriminant (?)

Une racines d’un polynôme du second degré est une valeur de x pour laquelle l’équation vaudra zéro, donc f(x1)=0 et f(x2)=0. Ça veut dire que si on remplace les x de la fonction par x1 OU x2, le résultat fera 0.

Calcul du discriminant (?) :

Le discriminant noté delta (?) se calcul grâce à la formule b²-4ac qu’il faut ABSOLUMENT connaître !

Exemples :

f(x) = 2x²+8x+3 g(x)= -3x²+7x-1

?= b²-4ac ?= b²-4ac

? = 8²-4*2*3 ? = 7²-4*(-3)*(-1)

?= 64-8*3 ? = 49 - (-12)*(-1)

?= 64-24 ? = 49 - 12

? = 40 ? = 37

Discriminant et racines :

Le discriminant permet de calculer les racines (x1 et x2) du polynômes du second degré. Déjà il y a une chose à savoir :

Si le discriminant (?) est plus grand que zéro, donc si ?>0, le polynôme admet deux racines.

Ça veut dire que si le discriminant est plus grand que zéro, il y a deux racines.

Si ?=0 le polynôme admet une seul racine

Et si ?<0 alors le polynôme admet aucune racines

Pour calculer ces racines, les formules sont :

x1= ( -b - sqrt(?) )/2a et x2= (-b + sqrt(?) )/2a

Si il y a qu’une seul racine a calculer, nous prenons n’importe laquelle des deux formules

Exemples :

f(x) = 2x²+8x+3 et ? = 40 g(x)= -3x²+7x-1 et ? = 37

x1= ( -b - sqrt(?) )/2a x1= ( -b - sqrt(?) )/2a

x1= (-8 - sqrt(40) )/2*2 x1= ( -7 - sqrt(37) )/2*(-3)

x1= (-8 - 6.32)/4 x1= (-7 - 6.08)/-6

x1= -14.32/4 x1=-13.08/-6

x1= -3.58 x1=-2.18

x2= (-b + sqrt(?) )/2a x2 = (-b + sqrt(?) )/2a

x2=

...