Le second degré

Chapitre 1 : le second degré

1. Définition et forme canonique

1. Définition

Soit a, b, c trois réels avec a ≠ 0

L’expression « ax² + bx + c » est du second degré.

La fonction x → ax² + bx + c définie sur R est une fonction polynomiale du second degré.

L’équation « ax² + bx +c = 0 » est du second degré.

1. Forme canonique

Forme canonique = a (x - )² + β[pic 1]

 = [pic 2][pic 3]

β = f()[pic 4]

Méthode :

• Factoriser par a les deux premiers monômes ax² + bx.
• On fait apparaître une identité remarquable n°1 ou n°2 et compenser.
• On développe par rapport à a puis on réduit.

1. Equations du second degré et équations s’y ramenant

1. Définition et propriété

Définition : 

Soit ax² + bx + c un polynôme du second degré, f : x → ax² + bx + c

On dit qu’un réel u est racine de ax² + bx + c ou que u est un zéro lorsque u est solution de ax² + bx + c = 0

Propriété :

On considère l’équation ax² bx + c = 0 [pic 5]

On définit le discriminant de ax² + bx + c   par :

Si ∆ < 0 alors S = ∅

Si ∆ = 0 alors S = [pic 6]

Si ∆ > 0 alors deux S =  et [pic 7][pic 8]

1. Equation se ramenant à du second degré

1. Factorisation

1. Propriété

Propriété : 

Soit ax² + bx + c un polynôme du second degré.

Si ∆ < 0 alors pas de factorisation

Si ∆ = 0 alors ax² + bx + c = a(x – x0)²

Si ∆ > 0 alors ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

1. Démonstration

1. Inéquation

Propriété : Soit ax² + bx + c un polynôme du second degré  

Si ∆ > 0 alors ax² + bx + c est du signe de a. [pic 9]

Si ∆ = 0 alors ax² + bx + c est du signe de a et s’annule en x = x0 

Si ∆ < 0 alors ax² + bx + c est du signe de a à l’extérieur des racines  

1. Inéquation se ramenant à du second degré

1. Variations

1. Propriété

Soit f : x → ax² +bx + c

α =  [pic 21]

β = f(α)

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