Le second degré

Chapitre № 2 :- Second Degré

1. Fonction Polynomiale de degré 2.

On considère la fonction suivante :-

∫ :- IR −→ IR =] -∞ ; +∞ [

      X →ax² + bx + c

      0≠a, b, c sont des réels fixés.

              X est la variation réelle.

∫ est un trinôme de degré 2

                    ↓               ↓

             * 3 termes     la plus grande puissance de x

             * ax²

             * bx

             * c

Définition :- la courbe représentative d’un trinôme de degré 2 est une parabole.

[pic 1]

Théorème (variation) :-

 La variation de ∫(x)= ax² + bx + c suit les règles :-

• Si a > 0 alors ∫ est ↙puis ↗ sur IR.
• Sin a< 0 alors ∫ est ↗ puis ↙ sur IR.

La fonction ∫ change de variation en x max ou x min.

Théorème (extremum) :-

L’extremum de la parabole a pour coordonnées.

        (α ; β) :-  α[pic 2]

          β= aα² + bα +c

1. Equation du second degré :-

Dans ce paragraphe, nous allons résoudre l’équation.

  ax² +bx +c =0 avec a, b, c des réels donnés.

Définition :- a toute équation du type ax² + bx +c =0, on associe un discriminant, note Δ := b² - 4ac.

 Le discriminant Δ sert à trouver le nombre de solution et à les calculer.

Théorème (existence des solutions) :-

L’équation ax² + bx + c se ressoude de la manière suivante :-

1. Si Δ <0 alors il n’y a aucune solution réelle,
2. Si Δ = 0, alors il y a une solution réelle, [pic 5]
3. Si Δ > 0, alors il y a deux solutions,  et [pic 6][pic 7]

1. Inéquation du second degré :-

Dans ce paragraphe, nous allons le signe de ∫(x)=ax²+bx+c.

                         [pic 8]

 a>0 et Δ <0, donc ∫ est positive sur IR, non nulle ∫>0.

                     [pic 9]

          a>0 et Δ=0, ∫ est positive sur IR ∫≥0

                     [pic 10]

a>0 et Δ>, ∫ est positive en hors  des racines et ∫ est positive entre les racines.

                  [pic 11]

a<0  et Δ<0, ∫ est négative sur IR, non nulle, ∫<0

                [pic 12]

a<0 et Δ=0, ∫ est négative sur IR, ∫≤0

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