Exposé de mathématiques intégral

SOMMAIRE

SOMMAIRE        1

I.        INTEGRALES GENERALES        1

1.        Supposons f intégrable sur tout intervalle J = [a,b[.        1

2.        Supposons f intégrable sur tout intervalle [a,x], x > a.        1

II.        FONCTIONS FONCTION EN ESCALIER        2

1.        Définitions        2

2.        Partie entière d'un nombre réel        2

III.        SOMME DE DARBOUX        2

1.        Définitions        2

2.        Propriétés        2

3.        Cas des fonctions monotones        2

1. INTEGRALES GENERALES

On distingue entre intégrale définie ou, simplement, intégrale qui est un nombre (intégrale de Riemann), par exemple :

[pic 1]

Et l'intégrale indéfinie ou primitive, qui est une fonction définie à une constante additive près et que l'on note alors :

[pic 2]

On écrira par exemple :  où k désigne une constante réelle quelconque.[pic 3]

Si F est une primitive de f sur l'intervalle d'étude et k désignant un constant arbitraire, on peut écrire :

[pic 4]

Et l'on a :

[pic 5]

On parle d'intégrale généralisée ou d'intégrale impropre pour donner un sens à une intégrale dont une des bornes (au moins) est infinie ou représente pour la fonction f une singularité (discontinuité, indéfinition).

1. Supposons f intégrable sur tout intervalle J = [a,b[.

La fonction F, intégrale de f sur [a,x], existe donc pour tout x de J. Si, lorsque x tend vers b, F admet une limite finie, on dit que l'intégrale converge. On note et on appelle intégrale généralisée de f sur [a,b] le nombre :

[pic 6]

1. Supposons f intégrable sur tout intervalle [a,x], x > a.

La fonction F, intégrale de f sur [a,x], existe donc. Si, lorsque x tend vers l'infini, F admet une limite finie, on dit encore que l'intégrale converge. On note et on appelle intégrale généralisée de f sur [a,+ [ le nombre :[pic 7]

[pic 8]

Un critère intéressant pour l'existence (convergence) de l'intégrale de f sur [a,+ [ :[pic 9]

Lorsque f est positive et continue sur tout intervalle [a,α], α > a et majorée par une fonction g intégrable sur [a,+ [, alors f est intégrable sur [a,+ [ et son intégrale est inférieure à celle de g.[pic 10][pic 11]

On donnera également un sens évident à la notation :

[pic 12][pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Elle n'a de sens que si f est intégrable d'une part sur ]- ,0] et d'autre part sur [0,+ [. Ce n'est qu'une notation pratique, le calcul étant constitué de deux intégrales généralisées :[pic 16][pic 17]

Pour qu'une fonction soit intégrable sur R tout entier, il faut et il suffit qu'elle soit intégrable sur] -α,0] et sur [0, +α [et que la convergence des deux intégrales soit assurée en faisant tendre α vers l'infini. Ne surtout pas calculer l'intégrale sur [-α, +α]et faire ensuite tendre α vers l'infini.

[pic 18]

[pic 19]

Théorèmes de convergence

[pic 20]

[pic 21]

1. FONCTIONS FONCTION EN ESCALIER

1. Définitions

Une fonction en escalier est une fonction constante sur des intervalles définis.

La fonction en escalier est une fonction étagée. Elle est définie sur l’ensemble des réels et dont les valeurs (réelles) sont constantes sur des intervalles.

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