Entraînement de mathématiques

Exercices de révision pour le DST3 du 05-03-2018 - CORRECTION

EXERCICE n° 1 

Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire 

[pic 1] 

On sait que  lim 𝑒𝑥 = 0 et  lim 2𝑥 − 7 = −∞ donc par produit et par somme   lim 2𝑒𝑥 + 2𝑥 − 7 = −∞,  

        𝑥→−∞        𝑥→−∞        𝑥→−∞

soit  lim (𝑥) = −∞. 

𝑥→−∞

Limite en +∞ ∶ 

On sait que  lim 𝑒𝑥 = +∞ et  lim 2𝑥 − 7 = +∞ donc par produit et par somme   lim 2𝑒𝑥 + 2𝑥 − 7 = +∞,  

        𝑥→+∞        𝑥→+∞        𝑥→+∞

soit  lim (𝑥) = +∞. 

𝑥→+∞

1. La fonction 𝑔 est la somme de la fonction  𝑥 ↦ 2𝑒𝑥  et de la fonction affine  𝑥 ↦ 2𝑥 − 7 qui sont dérivables sur ℝ donc 𝑔 est dérivable sur ℝ.  𝑔 est de la forme  𝑢 + 𝑣  donc  𝑔′ = 𝑢′ + 𝑣′. 

Pour tout réel  𝑥 :  (𝑥) = 2𝑒𝑥      𝑢′(𝑥) = 2𝑒𝑥      𝑣(𝑥) = 2𝑥 − 7    et   𝑣′(𝑥) = 2 ,

D’où : 𝑔′(𝑥) = 2𝑒𝑥 + 2 = 2(𝑒𝑥 + 1) 

Pour tout réel 𝑥,  𝑒𝑥 > 0 donc 𝑒𝑥 + 1 > 0, de plus  2 > 0  donc  𝑔′(𝑥) > 0. La fonction 𝑔 est donc  strictement  croissante sur  ℝ. 

On en déduit  le tableau de variations suivant :

1. D’après la question 2. la fonction 𝑔 est strictement croissante sur ℝ et dérivable sur ℝ donc continue sur ℝ. 

De plus :  lim 𝑔(𝑥) = −∞  et  lim 𝑔(𝑥) = +∞  et  0 ∈ ]−∞ ; +∞[ donc d’après le corollaire du théorème des

        𝑥→−∞        𝑥→+∞

valeurs intermédiaires généralisé, l’équation (𝑥) = 0 admet une unique solution dans  ℝ. 

[pic 3]

1. La fonction 𝑔 est strictement croissante sur ℝ et s’annule en 𝛼. On en déduit que :

(𝑥) < 0 ⇔ 𝑥 ∈ ]−∞;𝛼[      ;      𝑔(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝛼      ;        𝑔(𝑥) > 0 ⇔ 𝑥 ∈ ]𝛼;+∞[ 

Partie B : Etude d’une fonction 

1. Afin d’étudier le signe de  (𝑥) = (2𝑥 − 5)(1 − 𝑒−𝑥), étudions le signe de chacun des facteurs (2𝑥 − 5) et (1 − 𝑒−𝑥) et dressons ensuite un tableau de signes.

2𝑥 − 5 ≤ 0 ⟺ 2𝑥 ≤ 5 ⇔ 𝑥[pic 4] 

1 − 𝑒−𝑥 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ 𝑒−𝑥 ⇔ 𝑒0 ≤ 𝑒−𝑥 ⇔ 0 ≤ −𝑥 ⇔ 𝑥 ≤ 0 

  On en déduit le tableau de signes suivant :

On conclut que  la fonction 𝑓  est  strictement  positive sur ][pic 11][, strictement négative sur ]0 ; [pic 12] [ et qu’elle s’annule en 0 et en  [pic 13] 

...