Entraînement de mathématiques
Cours : Entraînement de mathématiques. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar kukukaka • 8 Mai 2018 • Cours • 2 307 Mots (10 Pages) • 711 Vues
Exercices de révision pour le DST3 du 05-03-2018 - CORRECTION
EXERCICE n° 1
Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire
[pic 1]
On sait que lim 𝑒𝑥 = 0 et lim 2𝑥 − 7 = −∞ donc par produit et par somme lim 2𝑒𝑥 + 2𝑥 − 7 = −∞,
𝑥→−∞ 𝑥→−∞ 𝑥→−∞
soit lim (𝑥) = −∞.
𝑥→−∞
Limite en +∞ ∶
On sait que lim 𝑒𝑥 = +∞ et lim 2𝑥 − 7 = +∞ donc par produit et par somme lim 2𝑒𝑥 + 2𝑥 − 7 = +∞,
𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥→+∞
soit lim (𝑥) = +∞.
𝑥→+∞
- La fonction 𝑔 est la somme de la fonction 𝑥 ↦ 2𝑒𝑥 et de la fonction affine 𝑥 ↦ 2𝑥 − 7 qui sont dérivables sur ℝ donc 𝑔 est dérivable sur ℝ. 𝑔 est de la forme 𝑢 + 𝑣 donc 𝑔′ = 𝑢′ + 𝑣′.
Pour tout réel 𝑥 : (𝑥) = 2𝑒𝑥 𝑢′(𝑥) = 2𝑒𝑥 𝑣(𝑥) = 2𝑥 − 7 et 𝑣′(𝑥) = 2 ,
D’où : 𝑔′(𝑥) = 2𝑒𝑥 + 2 = 2(𝑒𝑥 + 1)
Pour tout réel 𝑥, 𝑒𝑥 > 0 donc 𝑒𝑥 + 1 > 0, de plus 2 > 0 donc 𝑔′(𝑥) > 0. La fonction 𝑔 est donc strictement croissante sur ℝ.
On en déduit le tableau de variations suivant :
𝑥 | −∞ +∞ |
𝑔′(𝑥) | + |
𝑔(𝑥) | +∞ [pic 2]
−∞ |
- D’après la question 2. la fonction 𝑔 est strictement croissante sur ℝ et dérivable sur ℝ donc continue sur ℝ.
De plus : lim 𝑔(𝑥) = −∞ et lim 𝑔(𝑥) = +∞ et 0 ∈ ]−∞ ; +∞[ donc d’après le corollaire du théorème des
𝑥→−∞ 𝑥→+∞
valeurs intermédiaires généralisé, l’équation (𝑥) = 0 admet une unique solution dans ℝ.
[pic 3]
- La fonction 𝑔 est strictement croissante sur ℝ et s’annule en 𝛼. On en déduit que :
(𝑥) < 0 ⇔ 𝑥 ∈ ]−∞;𝛼[ ; 𝑔(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝛼 ; 𝑔(𝑥) > 0 ⇔ 𝑥 ∈ ]𝛼;+∞[
Partie B : Etude d’une fonction
- Afin d’étudier le signe de (𝑥) = (2𝑥 − 5)(1 − 𝑒−𝑥), étudions le signe de chacun des facteurs (2𝑥 − 5) et (1 − 𝑒−𝑥) et dressons ensuite un tableau de signes.
2𝑥 − 5 ≤ 0 ⟺ 2𝑥 ≤ 5 ⇔ 𝑥[pic 4]
1 − 𝑒−𝑥 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ 𝑒−𝑥 ⇔ 𝑒0 ≤ 𝑒−𝑥 ⇔ 0 ≤ −𝑥 ⇔ 𝑥 ≤ 0
On en déduit le tableau de signes suivant :
𝑥 | 5 −∞ 0 +∞ 2 |
2𝑥 − 5 | − [pic 5] − 0 + [pic 6] |
1 − 𝑒−𝑥 | − 0 + [pic 7] + [pic 8] |
𝑓(𝑥) | + 0 − 0 + [pic 9][pic 10] |
On conclut que la fonction 𝑓 est strictement positive sur ][pic 11][, strictement négative sur ]0 ; [pic 12] [ et qu’elle s’annule en 0 et en [pic 13]
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