Développement limité

Bâtiment CFA Rouen                                                                                  BTS. Mathématiques

Ce qu’il faut retenir sur

[pic 1]

• Le développement limité d’une fonction au voisinage de zéro correspond à une approximation par une fonction polynomiale.

• Ce développement limité d’ordre n au voisinage de la fonction se calcule, à l’aide de la formule suivante :

[pic 2] Où [pic 3]

Remarque :5!= 5 factoriel, cela se calcule en faisant 5 !=5x4x3x2x1

                                                                                    3 !=3x2x1

EXEMPLES :

1. Déterminer le DL d’ordre 2 de.[pic 4]

DL d’ordre 2 est de la forme [pic 5]

• [pic 6]
• On dérive  ,  donc [pic 7][pic 8][pic 9]
• On dérive  ,  donc [pic 10][pic 11][pic 12]
• [pic 13]
• [pic 14]

1. Déterminer le DL d’ordre 2 de [pic 15]

DL d’ordre 2 est de la forme [pic 16]

• [pic 17]
• On dérive  ,    ( on utilise (lnu)’=) donc [pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]
• On dérive  ,    on utilise ’= donc =   [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]
• [pic 28]
• [pic 29]

• Le développement limité est formé de 2 parties : d’une partie régulière d’ordre n (puissance maximale de[pic 30])  et d’une partie complémentaire (qui correspond à la différence négligeable entre la fonction et son développement limité).

• On peut déterminer un DL en utilisant les formules suivantes :

[pic 31]

EXEMPLE :

Déterminer le DL d’ordre 2 de.[pic 32]

• On utilise le DL d’ordre 2 de [pic 33]
• On pose [pic 34]
• Donc on remplace t dans le DL par [pic 35]

[pic 36]

        [pic 37][pic 38]

Exemple supplémentaire :

Déterminer le DL d’ordre 3 de [pic 39]

• On utilise [pic 40]
• On pose [pic 41]
• Donc on remplace t dans le DL par [pic 42]
• [pic 43]

[pic 44]

• On peut additionner, multiplier des DL, il suffit de respecter l’ordre du DL demandé.

_

EXEMPLES :

1. Déterminer le DL d’ordre 2 de .[pic 45]
2. Déterminer le DL d’ordre 3 de [pic 46]
3. Déterminer le DL d’ordre 2 de [pic 47]

• Ce développement limité au voisinage de zéro permet de déterminer une équation de la tangente au point d’abscisse zéro ; l’équation est donnée par la partie régulière d’ordre 1 du développement limité de la fonction.

EXEMPLE :

Déterminer le DL d’ordre 2 de[pic 48].

• Pour déterminer la position relative entre la courbe et la tangente, il suffit d’étudier le signe du terme suivant la partie régulière d’ordre 1 de la fonction.

EXEMPLE :

Déterminer la position relative entre la courbe d’équation [pic 49]et sa tangente au point d’abscisse zéro.

        Laugeois

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