Développements limites

Chapitre 7

D¶eveloppements limit¶es

1 D¶eveloppements limit¶es

La notion de d¶eveloppement limit¶e permet d'approximer une fonction au voisinage d'un

point par un polyn^ome. Plus l'ordre du d¶eveloppement est ¶elev¶e meilleure est l'approximation.

Concrµetement, pour ¶etudier une expression au voisinage d'un point (comme le calcul d'une

limite par exemple), il su±ra de remplacer les fonctions ¶elabor¶ees par leur d¶eveloppement

limit¶e.

D¶e¯nition 1.0.1 Soit f une fonction d¶e¯nie au voisinage de x0, mais pas forc¶ement en

x0. On dit que f admet un d¶eveloppement limit¶e d'ordre n au voisinage de x0, s'il existe

des nombres a0; a1; : : : ; an et une fonction ² d¶e¯nie au voisinage de x0 v¶eri¯ant

f(x) = a0 + a1(x ¡ x0) + ¢ ¢ ¢ + an(x ¡ x0)n + (x ¡ x0)n²(x) et lim

x!x0

²(x) = 0

Le polyn^ome a0+a1(x¡x0)+¢ ¢ ¢+an(x¡x0)n s'appelle partie principale du d¶eveloppement

limit¶e et le terme (x ¡ x0)n²(x) s'appelle le reste.

Remarque : Dire que f admet un d¶eveloppement limit¶e µa l'ordre n en x0 signi¯e qu'il

existe des nombres a0; a1; : : : ; an tels que

lim

x!x0

f(x) ¡ a0 ¡ a1(x ¡ x0) ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ an(x ¡ x0)n

(x ¡ x0)n = 0

Plus n est grand meilleure est donc l'approximation de f(x) par le polyn^ome a0 + a1(x ¡

x0) + ¢ ¢ ¢ + an(x ¡ x0)n au voisinage de x0.

Remarque : La fonction x 7! f(x) admet un d¶eveloppement limit¶e d'ordre n au voisinage

de x0 si et seulement si la fonction h 7! f(x0 +h) admet un d¶eveloppement limit¶e d'ordre

n au voisinage de 0. En e®et :

Si l'on pose x = x0 + h

f(x) = a0 + a1(x ¡ x0) + ¢ ¢ ¢ + an(x ¡ x0)n + (x ¡ x0)n²(x)

¶equivaut µa

f(x0 + h) = a0 + a1h + ¢ ¢ ¢ + anhn + hn²(x0 + h)

113

114 CHAPITRE 7. D¶EVELOPPEMENTS LIMIT¶ES

et ²(x) tend vers 0 quand x tend x0 si et seulement si ²(x0 + h) tend vers 0 quand h tend

vers 0.

Il su±t donc d'¶etudier la th¶eorie des d¶eveloppements limit¶es au voisinage de 0.

Exemples :

² Soit n un entier naturel, pour tout x 6= 1 on a

1

1 ¡ x

= 1 + x + x2 + ¢ ¢ ¢ + xn +

xn+1

1 ¡ x

Si l'on pose ²(x) =

x

1 ¡ x

on a

1

1 ¡ x

= 1 + x + x2 + ¢ ¢ ¢ + xn + xn²(x) et lim

x!0

²(x) = 0

La fonction x 7!

1

1 ¡ x

admet donc un d¶eveloppement limit¶e µa tout ordre au voisinage de

0, et on l'a d¶etermin¶e. Evidemment la fonction ² n'est pas toujours aussi simple, mais l'on

ne cherche pas en g¶en¶eral µa la d¶eterminer.

² Soit P(x) = a0+a1x+¢ ¢ ¢+apxp un polyn^ome. Le polyn^ome P(x) admet un d¶eveloppement

limit¶e en 0 µa tout ordre n :

Si n ¸ p, P(x) = a0 + a1x + ¢ ¢ ¢ + apxp + xn²(x) avec ²(x) = 0.

Si n < p, P(x) = a0 +a1x+¢ ¢ ¢+anxn +xn(an+1x+¢ ¢ ¢+apxp¡n) et ²(x) = an+1x+¢ ¢ ¢+

apxp¡n tend vers 0 quand x tend vers 0.

Proposition 1.0.2 Unicit¶e du D.L.- Le d¶eveloppement limit¶e d'ordre n d'une fonction

f, s'il existe, est unique.

Preuve : Supposons que f admette un d¶eveloppement limit¶e µa l'ordre n au voisinage de

0. On a

f(x) = a0 + a1x + ¢ ¢ ¢ + anxn + xn²(x) avec lim

x!0

²(x) = 0

On a lim

x!0

f(x) = a0. Le nombre a0 est donc unique d'aprµes l'unicit¶e de la limite.

lim

x!0

f(x)¡a0

x = a1. Le nombre a1 est donc unique ¶egalement.

Soit p un entier v¶eri¯ant 0 < p · n. Supposons que a0, a1, . . . , ap¡1 soient uniques. On a

lim

x!0

f(x) ¡ a0 ¡ a1x ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ ap¡1xp¡1

xp = ap

et ap est unique d'aprµes l'unicit¶e de la limite et des coe±cients a0, a1, . . . , ap¡1.

Proposition 1.0.3 La partie principale du d¶eveloppement limit¶e en 0 d'une fonction paire

(resp. impaire) est paire (resp. impaire).

2. OP¶ERATIONS SUR LES D¶EVELOPPEMENTS LIMIT¶ ES. 115

Preuve :

...