Devoir 1 CNED 2020 Probabilités

Exercice 1 : Probabilité de concourir pour Samuel ( 3 points )

Nous savons que, si on choisi une carte Pikaman au hasard, la probabilité que celle ci soit une carte argent, c’est à dire avec des points de PV supérieurs ou égals à 120, est de 0,05.

Nous pouvons modéliser l’achat des paquets de cartes par Samuel par une variable aléatoire X suivant une loie binomiale où l'on répète 24 fois l’épreuve “ la carte est t’elle une carte argent? ” ( on peut considérer que les différents tirages sont indépendants car les paquets sont remplis aléatoirement ).

La probabilité que Samuel puisse participer est donc tel que :

P ( X ≥ 3 ) = 1 - P ( X ≤ 2 )

On utilise la calculatrice afin de calculer P ( X ≤ 2 )

        P ( X ≤ 2 ) ≈ 0.88

Alors on a :

        P ( X ≥ 3 ) = 1 - 0.88

        P ( X ≥ 3 ) = 0.12

La probabilité que Samuel puisse concourir est de 0,12.

Exercice 2 : QCM ( 4 points )

Question 1 : b. 3087

Question 2 : b. 13

Question 3 : d. 13/20

Question 4 : b.

Exercice 3 : ( 3 points )

1.

[pic 1]

2. On cherche à calculer P ( B )

On utilise la relation P ( B ) = P ( A ∩ B ) + P ( Ā ∩ B )

Or :

        P ( A ∩ B ) = 0,98 x 0,99 = 0,9702

        P ( Ā ∩ B ) = 0,01 x 0,02 = 2 E-4

Donc :

        P ( B ) = 0,9702 + 2 E-4 = 0,9704

3. La probabilité qu’une pièce soit réellement défectueuse est notée Ā.

On cherche P ( Ā ∩ B barre ).

On sait :

         P ( Ā ∩ B barre ) = P ( B barre) x PB barre ( Ā )

On a :

        PB barre ( Ā ) = 0,99

P ( B barre) = 1 - P ( B )

P ( B barre) = 1 - 0,9704

P ( B barre) = 0,0296

Donc :

         P ( Ā ∩ B barre ) = 0,0296 x 0,99

 P ( Ā ∩ B barre ) = 0,0293

La probabilité que qu’une pièce soit vraiment défectueuse après avoir été préalablement considéré défectueuse pas  la machine est de 0,0293 à 10-4 près.

Exercice 4 : ( 5 points )

PARTIE I_

1.

[pic 2]

2. On cherche P (N1)

On sait que :

        P (N1) =  P ( N1 ∩ C) + P ( N1 ∩ C barre )

Or :

        P ( N1 ∩ C) = ½ x ½ = ¼ 

        P ( N1 ∩ C barre ) = ½ x 1 = ½

Donc :

        P (N1) = ¼ + ½ = ¾

La probabilité d’obtenir un nombre pair au premier lancer du dé est de ¾ .

3. La probabilité d’avoir tiré le d1 en ayant obtenu un nombre pair est noté

PN1 ( C )

On sait que :

        PN1 ( C ) = P ( N1 ∩ C) / P (N1)

        P ( N1 ∩ C) = ¼ 

        P (N1) = ¾

Alors :

PN1 ( C ) = ¼ / ¾ 

PN1 ( C ) = ¼ x 4/3

        PN1 ( C ) = ⅓ 

Sachant que nous avons obtenu un nombre pair, la probabilité d’avoir tirer d1 est de ⅓.

PARTIE II_

[pic 3]

1. Nous cherchons à démontrer que :

Or on sait que :

        P ( Nn ) = Pc ( Nn ) + Pc barre ( Nn )

Et :

Pc barre ( Nn ) est constant, Pc barre ( N ) = ½ 

Aussi :

Pc ( Nn ) = Pc ( N1 ) x Pc ( N2 ) x Pc ( N3 ) x … Pc ( Nn )

Pc ( Nn ) = ½ x ½ x ½ x … ½ 

[pic 4]

Pc ( Nn ) =

[pic 5]

        Pc ( Nn ) =

Alors :

[pic 6]

La propriété est vérifiée.

[pic 7]

2.  Afin de déterminer

...