Développer et factoriser

nt dit :

I - D ́evelopper

. . . × . . . × . . . ←− . . . + . . . + . . .

Re ́sume ́ : de ́velopper & factoriser

Les m ́ethodes de d ́eveloppement et de factorisation sont a` connaˆıtre parfaitement, tant elles sont ́el ́ementaires et donc indispensables. Il n’y a en r ́ealit ́e que trois ≪ types ≫ de for- mules : simple distributivit ́e, double distributivit ́e et les identit ́es remarquables. D ́evelopper ou factoriser, c’est utiliser un de ces types dans un sens ou un autre.

Pr ́ecisons, a` toute fins utiles, les termes d ́evelopper et factoriser :

∗ d ́evelopper une quantit ́e, c’est partir d’un produit et le pr ́esenter sous la forme d’une somme. Typiquement :

. . . × . . . × . . . −→ . . . + . . . + . . .

∗ factoriser une quantit ́e, c’est partir d’une somme et la pr ́esenter sous la forme d’un

Mˆeme si on pr ́esente trois ≪ m ́ethodes ≫ pour d ́evelopper ici, toutes ont la mˆeme origine : la simple distributivit ́e (et c’est un excellent exercice de calcul alg ́ebrique ́el ́ementaire d’essayer de le d ́emontrer).

1 - Par simple distributivit ́e

C’est la formule la plus ́el ́ementaire : pour tout r ́eel x, y et tout r ́eel z :

x(y + z) = xy + xz. (1)

Bien ́evidement, la simple distributivit ́e se fait aussi par la droite.

(x + y)z = xz + yz. (2)

La simple distributivit ́e peut se faire sur deux quantit ́es ou plus, typiquement : x(y + z + t) = xy + xz + xt. (3)

On peut en donner quelques exemples :

(a) x(2 + x) = x × 2 + x × x = 2x + x2 ;

(b) (x2 − x + 1)x = x2 × x − x × x + 1 × x = x3 − x2 + x ;

(c) −(1−x)=(−1)(1−x)=(−1)×1−(−1)×x=−1+x.

2 - Par double distributivit ́e

Le principe est le mˆeme, mais on enchaˆıne la distribution simple par la gauche (ou la droite) terme par terme. Autrement dit, pour tout r ́eel x, y, z et tout r ́eel t on a :

(x + y)(z + t) = xz + xt + yz + yt.

De mˆeme, on peut utiliser la r`egle des signes et d ́evelopper par la droite. Quelques exemples :

(a) (x + 1)(3 + x) = 3x + x2 + 3 + x = x2 + 4x + 3 ;

(b) (1−x)(x−x2)=x−x2 −x2 +x3 =x3 −2x2 +x. 3 - Via une identit ́e remarquable

Elles sont la cons ́equence de la double distributivit ́e. On en d ́enombre bien plus que trois en math ́ematiques, mais vous devez retenir uniquement (pour le mo- ment) les trois ci-dessous. Pour tout r ́eel a, tout r ́eel b :

(a+b)2 =a2 +2ab+b2 (4)

(a−b)2 =a2 −2ab+b2 (5) (a+b)(a−b)=a2 −b2. (6)

Ces trois formules sont a` utiliser sans chercher

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