Développement, réduction et factorisation

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DEVELLOPEMENT, REDUCTION ET FACTORISATION

I) Développement et réduction :

1) Rappels:

a) Activité :

b) Propriété 1 :

Pour tous nombres relatifs a, b et k

k( a + b) = k × a + k × b = k a + k b

Exemple:

5(x + 3) = 5 × x + 5 × 3 = 5x +15

− 2(3x −1) = −2 × 3x − 2 × (−1) = −6x + 2

c) Propriété 2 :

Pour tous nombres relatifs a, b, c et d

( a + b)( c + d ) = a × c + a × d + b × c + b × d

( a + b)( c + d ) = a c + a d + b c + b d

Exemple :

Développer et réduire les expressions suivantes :

a) A(x) = (x + 3)(2x − 7) b) B(x) = (−3x + 4)(x + 2)

d) Propriété 3 :

Pour tous nombres relatifs a, b et c

a + ( b – c) = a + b – c les signes de b et c sont conservés

a – ( b – c ) = a – b + c les signes de b et c sont changés

Exemple :

3 + (2x − 5) = 3 + 2x − 5 = 2x − 2

− 4x − (−3x + 7) = −4x + 3x − 7 = −x − 7

2

e) Exemples :

Développer et réduire les expressions suivantes :

a) A(x) = −4(7x − 2) + (3x +1)(−5x + 4)

b) B(x) = (x +1)(6x − 5) − (4x − 3)(−x + 8)

f) A connaître :

2×3x = 6x 1×3x = 3x

0×3x = 0

2x + 3x = 5x

2x − 3x = −x − 2x − 3x = −5x

2

2x ×3x = 6x

2

2x× (−3x) = −6x

2

− 2x ×(−3x) = 6x

2 2

2( x) = 4x

g) Rappels sur les nombres relatifs:

Schéma

h) Remarque:

Développer signifie transformer un produit en somme.

2) Identité remarquables:

a) Activité:

b) Identités remarquables:

Pour tous nombres relatifs a et b

(a + b) = a + 2ab + b

(a − b) = a − 2ab + b

(a + b)(a − b) = a − b

c) Exemples :

Développer et réduire les expressions suivantes :

2

(A x) = (x + )3

2

(B x) = 2( x − )5

C(x) = (x + 2)(x − 2)

d) Remarque :

Attention,

(a + b) ≠ a + b

et (a − b) ≠ a − b

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II) Factorisation :

1) Factorisation par la méthode du facteur commun (apparent) :

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