Approximation d’une loi binomiale

                M3201 – Probabilités et Statistique – Poly 4

Loi Normale et Théorème Central Limite (TCL)

1. Loi normale[pic 1][pic 2]

Introduction[pic 3]

Exemple 1 : Approximation d’une loi binomiale

Une population est constituée de 100 étudiants parmi lesquels 30 filles.

• On choisit au hasard 5 étudiants au hasard (tirage avec remise) dans cette population :

• X : nombre de filles dans l’échantillon,
• X suit la loi binomiale B(5 ;0,3)[pic 4]

[pic 5]

• On choisit maintenant 25 étudiants au hasard (tirage avec remise) dans cette population :

• X : nombre de filles dans l’échantillon, [pic 6]
• X suit la loi binomiale B(25 ;0,3)

La loi normale (courbe « en cloche ») semble approcher la loi binomiale (nous préciserons un peu plus tard, comment une loi continue peut approcher une loi discrète).

[pic 7]

[pic 8][pic 9]

Exemple 2 : Moyennes d’échantillons[pic 10]

Répartition des âges dans une population :

On choisit dans une population des échantillons de 50 étudiants[pic 11][pic 12]

[pic 13]

[pic 14][pic 15][pic 16]

On ne voit pas apparaître de régularité particulière dans les histogrammes ci-dessus… Par contre, si on s’intéresse à la moyenne de ces échantillons :

[pic 17][pic 18][pic 19]

Là encore, la loi normale (courbe « en cloche ») semble approcher la distribution des moyennes d’échantillons.

Exemple 3 : Répartition des notes à un contrôle[pic 20]

Il arrive parfois que la distribution de tailles (de pièces choisies dans une population par exemple), de notes… aient une allure « normale »

Exemple 4 : Table de Galton

https://www.youtube.com/watch?v=Kq7e6cj2nDw

Bilan : approximation de la loi binomiale, loi de la moyenne d’échantillons, répartition des notes à un contrôle… la loi normale apparaît dans un grand nombre de situation du fait d’un théorème, le théorème Central Limite, que nous allons formuler de façon très empirique pour commencer :

« Tout système, soumis à de nombreux facteurs indépendants qui s’ajoutent,

a tendance à générer une loi normale »

Ainsi,

• dans l’industrie, la taille d’une pièce fabriquée par une machine dépend de plusieurs facteurs indépendants (qualité du matériau, température ambiante, opérateur, la machine, heure de la journée…) : la taille d’une pièce choisie au hasard suit souvent une loi normale,
• la note à un contrôle peut être le résultat d’un certain nombre d’effets (pas toujours indépendants…) qui s’ajoutent (le travail, le sommeil, le stress, …) : on peut alors observer une distribution « normale » des notes,
• une moyenne d’échantillon de taille 50 est calculée à partir de la somme de 50 variables indépendantes (si le tirage est avec remise), elle suit une loi normale,
• une loi binomiale B(25 ;0,3) est la somme de 25 variables de Bernoulli indépendantes, elle peut être approchée par une loi normale.

Avant de préciser les conditions d’application du Théorème Central Limite, nous allons commencer par définir la loi normale et ses propriétés.[pic 21]

Définition

Une variable X suit une loi normale de paramètres μ et σ (σ>0) si X a pour densité : [pic 22][pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

Notation : [pic 26]

Moments : Les paramètres μ et σ de la loi sont respectivement l’espérance et l’écart-type de la variable

[pic 27]

[pic 28]  ([pic 29])

Quelques remarques et repères pour la représentation d’une loi normale

Les paramètres μ et σ permettent de définir la position et la forme de la loi.

• L’écart-type mesure la dispersion de la variable :[pic 30][pic 31]

[pic 32]

[pic 33][pic 34]

[pic 35][pic 36]

• Des lois normales de même écart-type sont superposables, elles ne diffèrent que par leur position définie par leur moyenne : [pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

• Repères IMPORTANTS[pic 41][pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

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[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

Important !

• Pour représenter la densité d’une loi normale, on trace une courbe « en cloche » avec   comme axe de symétrie et en graduant l’axe des abscisses sous la courbe par les valeurs  ( correspondant à des valeurs « extrêmes »)[pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

• Pour calculer les probabilités d’une loi normale, il faut pouvoir calculer des aires sous la densité . Malheureusement on ne connait pas de primitive de cette fonction (on ne connait pas de primitive de ). Plutôt que des calculs de primitives et d’intégrales, nous utiliserons donc des tables.  Ces tables ne portent pas sur toutes les lois normales mais sur une seule, la loi normale centrée réduite.[pic 53][pic 54]

Loi normale centrée réduite[pic 55]

Vocabulaire

• Une variable d’espérance nulle est dite centrée, une variable d’écart-type égal à 1 est dite réduite.
• La loi N(0,1) est donc appelée loi normale centrée réduite.[pic 56]

X suit N(0,1) : [pic 57]                

[pic 58]

[pic 59]

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