Probabilités conditionnelles

Ch. ? : Probabilités conditionnelles 

1. Définition

Soit A et B sont deux événements d’un même univers, tel que P(B) soit non nulle. On appelle « probabilité de A sachant B », la probabilité que l’événement A soit réalisé sachant que l’événement B est déjà réalisé. On la note PB(A).

On a  ♥ [pic 1].

Remarque : dans le cas [pic 2], « la probabilité de B sachant A » est le nombre réel  [pic 3]

2. Formules des probabilités composées

♥       P ( A ∩ B ) = P (B ) × PB (A )     et     P ( A ∩ B ) = P ( A ) × PA ( B )

Exemple d’application : 80 % d’une population est vaccinée contre une maladie. On constate que 2 % des personnes vaccinées sont atteinte de la maladie. On choisit une personne au hasard. On veut calculer la probabilité que ce soit une personne vaccinée et atteinte de la maladie.

Soit les événements V : « la personne est vaccinée » et M : « la personne est atteinte de la maladie ». On a P(V) = 0,8 et PV(M) = 0,02.                                          

On en déduit que P(V [pic 4] M) = P(V) × PV(M)

                                               = 0,8 × 0,02

                                               = 0,016

3. Formule des probabilités totales

a. Exemple 1 : Au Luxembourg une enquête a révélé qu’en 2010, 24 % de la population fumait. La fumée dérange 80 % des non-fumeurs et 58 % des fumeurs. On interroge au hasard un habitant du Luxembourg. On veut calculer la probabilité que cet habitant soit dérangé par la fumée.

Soit les événements F : « l’habitant est fumeur » et D « la personne est dérangée par la fumée »

                                              _

On a P(F) = 0,24 et donc   P(F) = 1 – P(F)

                    _                             = 1 – 0,24 = 0,76                                                                                  

On a aussi PF(D) = 0,8 et PF(D) = 0,58  

On en déduit, en s’aidant d’un arbre,  que                                                          

P(D [pic 5] F) = PF(D) × P(F) = 0,58 × 0,24 = 0,1392

             _        _             _

P(D [pic 6] F) = PF(D) × P(F) = 0,8 × 0,76 = 0,608

                                              _

P(D) = P(D [pic 7] F) + P(D [pic 8] F) = 0,1392 + 0,608 = 0,7472

b. Cas général : On considère n événements Ai disjoints deux à deux, dont la réunion est égale à l’univers Ω. La probabilité de tout événement B est donnée par la formule

P(B) = P( B ∩ A1 ) + P( B ∩ A2 ) +  …. + P( B ∩ An).

Remarques :

• Pour traduire le fait que les n événements Ai sont disjoints deux à deux, et que leur réunion est égale à l’univers Ω, on dit qu’ils forment une partition de Ω.  

              _                                                                                                                _

• A et A forment une partition de Ω. On a donc P( B ) = P( B ∩ A ) + P( B ∩ A)
• La formule P(B) = P( B ∩ A1 ) + P( B ∩ A2 ) +  …. + P( B ∩ An) est dite « formule des probabilités totales »)  sa mise en oeuvre (aidée d’un arbre) doit être maîtrisée.

c. Exemple 2 : Dans un lycée, il y a 30 % d’internes, 20 % d’externes et 50 % de demi-pensionnaires. 25 % des internes participent au club d’échecs, 10 % des externes y participent et 15 % des demi-pensionnaires y participent. On appelle un élève de ce lycée au hasard. On veut calculer la probabilité qu’il participe au club d’échecs.

Soit les événements I : « l’élève est interne », E : « l’élève est externe », D : « l’élève est demi-pensionnaire », C : « l’élève participe au club d’échecs ».

On a P(I) = 0,3 ; P(E) = 0,2 ; P(D) = 0,5 ; PI(C) = 0,25 ; PE(C) = 0,1 ; PD(C) = 0,15 où P désigne la probabilité. Dresser ici un arbre des probabilités.

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