Proportions

PROPORTIONS

I. Proportion et pourcentage

1) Proportion d’une sous-population

Exemple :

Sur les 480 élèves inscrits en classe de 1ère, 108 d’entre eux ont choisi la filière STMG.

[pic 1]

La population totale des élèves de 1ère, notée N, est égale à 480. C’est la population de référence.

La sous-population des élèves de STMG, notée n, est égale à 108.

La proportion d’élèves de STMG parmi tous les élèves de première, notée p, est : [pic 2].

Cette proportion peut s’exprimer en pourcentage : p = 22,5 %.

        2) Pourcentage d’un nombre

Exemple :

Parmi les 480 élèves de 1ère, 15 % ont choisi la filière L.

15 % de 480 ont choisi la filière L, soit :

[pic 3] élèves.

Méthode : Associer proportion et pourcentage

Une société de 75 employés compte 12 % de cadres et le reste d’ouvriers.

35 employés de cette société sont des femmes et 5 d’entre elles sont cadres.

a) Calculer l’effectif des cadres.

b) Calculer la proportion de femmes dans cette société.

c) Calculer la proportion, en %, de cadres parmi les femmes. Les femmes cadres sont-elles sous ou surreprésentées dans cette société ?

a) 12 % de 75 = [pic 4] = 9.

Cette société compte 9 cadres.

b) n = 35 femmes et N = 75 employés

La proportion de femmes est donc égale à [pic 5].

c) n = 5 femmes cadres et N = 35 femmes. La population de référence n’est plus la même.

La proportion de cadres parmi les femmes est égale à [pic 6].

14 % > 12 % donc les femmes cadres sont surreprésentées dans cette société.

II. Union et intersection de sous-populations

Exemple :

Dans une classe de 35 élèves, 14 élèves étudient l’anglais, 12 élèves étudient l’espagnol et 5 élèves étudient les deux.

[pic 7][pic 8]

Effectif de l’anglais nA = 14                        Effectif de l’espagnol nE = 12

[pic 9][pic 10]

 [pic 11] = 5 étudient l’anglais et l’espagnol              [pic 12] étudient l’anglais ou l’espagnol

L’ensemble [pic 13] contient les élèves qui étudient l’anglais, ceux qui étudient l’espagnol et ceux qui étudient les deux.

Ainsi, en effectuant 14 + 12, on compte deux fois ceux qui étudient les deux langues.

Et donc, [pic 14] = 14 + 12 – 5 = 21.

21 élèves étudient l’anglais ou l’espagnol.

En terme de proportion, on a :

Proportion des élèves qui étudient l’anglais : [pic 15] 

Proportion des élèves qui étudient l’espagnol : [pic 16] 

Proportion des élèves qui étudient les deux : [pic 17] 

Proportion des élèves qui étudient l’anglais ou l’espagnol :

[pic 18] 

Propriété :

Soit A et B deux sous-populations d’une même population.

La proportion de [pic 19]  est donnée par : [pic 20]

Remarque : Si A et B n’ont pas d’élément en commun, alors l’ensemble [pic 21]  est vide et dans ce cas : [pic 22]

Méthode : Calculer la proportion d’une union ou d’une intersection

Un glacier vend 24 % de ses glaces au parfum chocolat, 14 % au parfum vanille et 10 % des ventes sont aux deux parfums à la fois.

a) Calculer la proportion de ventes de glaces au chocolat ou à la vanille.

b) En déduire la proportion de glaces vendues à aucun des deux parfums, chocolat ou vanille.

a) pC = 24 %, pV = 14 % et [pic 23] = 10 %.

On déduit que [pic 24] = 24% + 14% - 10% = 28 %.

La proportion de glaces au chocolat ou à la vanille est égale à 28 %.

b) La proportion de glaces ni au chocolat, ni à la vanille est égale à :

100 % - 28 % = 72 %

III. Proportions échelonnés

        1) Inclusion

Exemple :

Dans un car, il y a 40 % de scolaires. Et parmi les scolaires, 60 % sont des filles.

[pic 25]

L’ensemble F est inclus dans l’ensemble S et on a : pF = 60 % de S.

L’ensemble S est inclus dans l’ensemble CAR et on a : pS = 40 % de CAR.

La proportion de fille dans le CAR est donc égale à :

60 % de 40 % = 60 % x 40 % = 0,6 x 0,4 = 0,24 = 24 %.

Propriété :[pic 26]

A[pic 27]B et B[pic 28]C.

p1 est la proportion de A dans B.

p2 est la proportion de B dans C.

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