Td antenne corrigé

        Série 3   solution

Exercice 1

On considère une antenne de longueur L = 2d. On tire le courant du modèle de ligne de transmission  ( longueur de la ligne = d ) :

[pic 1]

L’integrale de rayonnement est

[pic 2]

Si on substitue, puis on separe l’integrale en deux parties pour eliminer la fonction |z|, on arrive a

[pic 3]

Apres un changement de variable d’integration, on peut arriver `a l’integrale :

[pic 4]

Une facon de resoudre cette integrale est d’utiliser l’expression

[pic 5]

On trouve a la fin

        [pic 6]

On en tire alors le champ electrique

[pic 7]

Trois cas interessants sont : kD → 0, D = λ/2, et D = λ.

Dipole court        : Le diagramme qu’on trouve est le meme que celui d’un dipole de Hertz.

En effet, si on approxime cos x ≈ 1 −   ,  on a[pic 8]

[pic 9]

Ici, le champ maximal n’est pas le meme que celui du dipole de Hertz, parce que la

distribution de courant n’est pas constante ; elle est presque lineaire.

Dipole  λ/2 Voici le diagramme pour le cas ou  kl/2 = π/2 ; il suffit de substituer cette

valeur dans l’expression pour E.

[pic 10]

Dipole  λ Le cas o`u kl/2 = π.

[pic 11]

Apres, pour l > λ, on verra apparaıtre des lobes secondaires. Voila le cas ou  l = 1.2λ.

[pic 12]

Exercice 2

On commence par la formulation du probleme equivalent :

[pic 13]

Puis on ecrit l’integrale de rayonnement.

[pic 14]

[pic 15]

On obtient le produit ・  du fait que ・= cos θ et  = h (pour le dipole original) ou  = −h   (pour la source image). Comme les dipoles ont une longueur infinitesimale, le facteur exponentiel peut sortir des integrales.[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

[pic 24]

Maintenant on peut trouver la partie transverse

                                    f trans =  +  [pic 25][pic 26][pic 27]

avec

 = − sin θ                                et      = 0[pic 28][pic 29][pic 30]

et alors ecrire le champ electrique :

[pic 31]

Le diagramme du champ ´electrique ne d´epend pas de φ. On distingue deux facteurs dans l’expression du champ : le premier, sin θ, est celui d’un dipole elementaire, et le deuxieme, cos(kh cos θ), resulte de la position relative des deux elements dans l’espace.

...