BTS Mathématique session 2006

Sujet de BTS session 2006

Exercice 1 : ( 11 points )

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

A. Résolution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle (E) : y'' - 3y' - 4y = -5e-x

où y est une fonction de sa variable x, définie et deux fois dérivable sur , y' la fonction dérivée de y et y'' sa fonction dérivée seconde.

1. Déterminer les solutions sur de l'équation différentielle (E0) : y'' - 3y' - 4y = 0.

2. Soit h la fonction définie sur par h(x) = x e-x.

Démontrer que la fonction h est une solution particulière de l'équation différentielle (E).

3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).

4. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales

f (0) = 2 et f ' (0) = - 1

B . Etude locale d'une fonction

La courbe C ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormal , de la fonction f définie sur par f (x) = (x+ 2) e-x.

1. Démontrer que le développement limité à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction f est :

2. Déduire du 1. une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0.

3. Etudiez la position relative de C et T au voisinage du point d'abscisse 0.

C. Calcul intégral

On note

1. A l'aide d'une intégration par parties, démontrer que I = 3 - 3,6e-0,6.

2. Donner la valeur approchée arrondie à 10-3 de I.

3. Donner une interprétation graphique du nombre I.

Correction

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