Structure de groupe

Structure de groupe

Groupes

<definition/>On appelle groupe tout ensemble G muni d'une loi de composition interne ∗ telle que

∙ * est associative.

∙ * admet un élément neutre dans G.

∙ Tout élément de G admet un symétrique dans G pour la loi *.

∙ Si de plus * est commutative on dit que (G,*) est un groupe commutatif ou abélien.

∙ Si G est fini de cardinal n (∈N^{*}), n s'appelle aussi l'ordre de G est se note |G|.

<example/>(Z,+), (R^{∗},×), (GL(E),∘), (GL_{n}(R),×)...

<remark/>Pour désigner la loi du groupe on utilisera dans la suite soit une notation multiplicative (G,.) soit une notation additive (G,+).

1.Dans (G,.) :

a.1 ou e désigne le neutre de . dans G.

b.a⁻¹ est le symétrique ou encore l'inverse de a.

c.Pour k∈Z, a^{k} désigne : {

a.a....a k fois si k∈N^{*}

1 si k=0

(a⁻¹).(a⁻¹)....(a⁻¹) -k fois si k∈Z^{*-}

┊.

2.Dans (G,+) :

a.0 est le neutre de + dans G.

b.-a le symétrique de a.

c.Pour k∈Z, ka désigne :{

a+a...+a k fois si k∈N^{∗}

0 si k=0

(-a)+(-a)....+(-a) -k fois si k∈Z^{∗-}

┊.

<exercise/>nnj

Sous groupes

<definition/>Si (G,∗) est un groupe et H une partie non vide de G, on dit que H est un sous groupe de (G,∗) si et seulement si :

∙ H est stable par *.

∙ (H,*) est un groupe.

<theorem/>Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

1.H est un sous groupe de (G,*).

2.H est non vide, H est stable par * et pour tout x∈H , x⁻¹∈H.

3.H est non vide et pour tout x,y∈H, x∗y⁻¹∈H.

<theorem/>L'ensemble U des nombres complexes de module 1 muni de la multiplication est un groupe commutatif.

<example/>Montrer que (O_{n}(R),×) est un groupe.

<theorem/>Les sous groupes du groupe commutatif (Z,+) sont les dZ, d∈N .

Morphismes de groupes

<definition/>Soient (G,.) et (G′,.) deux groupes et f: G→G′ une application.

∙ On dit que f est un morphisme des groupes G et G′ si et seulement si :

∀x,y∈G:f(x.y)=f(x).f(y)

∙ Un morphisme de groupes bijectif est un isomorphisme de groupes.

∙ Un isomorphisme de G sur G est un automorphisme de G.

<example/>ln:(R^{*+},×)→(R,+), x→ln x est un isomorphisme de groupes.

<example/>Soient (G,.) un groupe et a∈G; alors ϕ:(Z,+)→(G,.), n→aⁿ est morphisme de groupes :

∀n,m∈Z :a^{n+m}=aⁿa^{m}

On a aussi ∀n,m∈Z, (aⁿ)^{m}=a^{nm}.

<remark/>Dans le cas d'une notation additive ces résultats s'écrivent :jj,,, ::!!!:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

<proposition/>Soient (G,.) et (G′,.) deux groupes et f:G→G′ un morphisme de groupes; alors on a :

1.f(1_{G})=1_{G′}.

2.∀x∈G, f(x⁻¹)=f(x)⁻¹

3.∀x∈G, ∀n∈Z, f(xⁿ)=f(x)ⁿ.

<remark/>Dans le cas d'une notation additive ces résultats s'écrivent :

1.f(0_{G})=0_{G′}.

2.∀x∈G,f(-x)=-f(x)

3.∀x∈G, ∀n∈Z, f(nx)=nf(x).

<theorem/>L'application

Ψ:(R,+)→(U,×),θ↦e^{iθ}

est un morphisme de groupes : pour tout θ,θ′∈R, Ψ(θ+θ′)=Ψ(θ)×Ψ(θ′). En d'autres termes, pour tout θ,θ′∈R

e^{i(θ+θ′)}=e^{iθ}e^{iθ′}

<proposition/>Soient (G,.) et (G′,.) deux groupes et f:G→G′ un morphisme de groupes; alors

1.Imf=f(G) est un sous groupe de G′ appelé image de f.

2.ker f=f⁻¹({1_{G′}})={g∈G:f(g)=1_{G′}} est un sous groupe de G qu'on appelle le noyau de f.

<example/>L'application ϕ:Z→G, n→aⁿ est un morphisme de groupes et son noyau est un sous groupe de Z donc de la forme dZ, d∈N.

<proposition/>Soient (G,.) et (G′,.) deux groupes et f:G→G′ un morphisme de groupes; alors on a :

1.f est surjective si et seulement si Imf=G′.

2.f est injective si et seulement si ker f={1_{G}}.

<exercise/>Soit

G={M(x)=(1/(√(1-x²)))(<K1.1/>):x∈]-1,1[}

<K1.1 ilk="MATRIX" >

1 x

x 1

</K1.1>

1.Montrer

...