Filtrage Numérique

­­­Introduction :

Dans le cadre des travaux pratiques du module semi-optionnel de synthèse de filtres, on se propose de filtrer un signal correspondant à un extrait de la Berceuse de Johannes Brahms en 1868, jouée à la flûte à bec par un musicien débutant.

I- Découverte du signal et définition des objectifs

1) Prise en main des données

Tout d’abord, on cherche à écouter le signal sous Matlab, afin d’entendre ses caractéristiques.

Pour cela, on importe tout d’abord le fichier sig1213.mat sur Matlab grâce à la fonction load. On lit ensuite le signal sous Matlab grâce à l’appel de la fonction soundsc.

On constate que la mélodie est bien reproduite, néanmoins, et du fait du niveau du joueur de flûte, le tempo n’est pas totalement respectée et la tonalité des notes fluctue légèrement.

 Il faudra donc en tenir compte dans l’analyse spectrale du signal.

2) Analyse du signal

Pour minimiser l’espace mémoire utilisé lors de la synthèse des filtres, on utilise des extraits du fichier initial, qui constituent une segmentation du fichier principal.

Nous avons choisi de faire dans toute la suite l’étude de l’extrait 7.

Nous avons réussi à identifier l’extrait 7 sur la partition, il s’agit de la partie encadrée ci-dessous :

Etude de l’extrait 7 :

L’extrait 7 est composé de 6 notes : 4 croches et 2 blanches. Le premier do est répété 2 fois, ainsi on peut considérer que l’on a dans cet extrait que 5 notes : un premier do correspondant à une noire, un do de la gamme au dessus de longueur une blanche, une double croche la-fa et un sol blanche.

Pour étudier cet extrait du signal, on utilise la fonction spgramo, contenue dans le fichier spgramo.mat téléchargé sur le e-campus.

Etude de la fonction spgramo :

La fonction spgramo permet de calculer le spectrogramme et la densité spectrale d’un signal.

Le spectrogramme s’exprime par :

Il est réalisé au travers d’une fenêtre d’observation g glissante. On peut choisir la longueur de la fenêtre d’analyse g, le nombre de pointsde recouvrements des tranches successives et le nombre de points de la TFD.

Et la densité spectrale par :

La fonction spgramo prend en compte 7 paramètres : x,nue,Nfft,Nptranche,Nrecouv,dB,fig.

x correspond au signal à analyser

nue est la fréquence d’échantillonnage associée au signal

Nfft correspond au nombre de points des TFD

Nptranche correspond au nombre de points par tranche

Nrecouv permet de spécifier le nombre de points de recouvrements d’une tranche à l’autre

dB permet de sélectionner la dynamique souhaitée pour l’affichage du spectrogramme en décibels

fig correspond au numéro de la figure de destination

Il est important de souligner que nous avons quelques peu modifié cette fonction, en termes d’affichage, afin de voir afficher directement en titre dans la fenêtre-résultat les paramètres utilisés pour générer le spectrogramme.

La fonction spgramo affiche sur la figure n°fig le signal temporel, la densité spectrale dont le maximum est normalisé à 0 dB, une image représentant le spectrogramme codé sur 8 niveaux de gris et la palette de niveaux de gris.

Les paramètres de calcul du spectrogramme sont la fenêtre de Hamming de Nptranche échantillons, un recouvrement des tranches successives de Nrecouv échantillons, et une FFT sur Nfft points.

Conclusion de cette étude : Afin d’obtenir les résultats les plus exploitables possibles, voir même idéaux, il faut que :

la longueur d’une tranche Nptranche corresponde à la longueur de la note la plus courte, à savoir ici une croche

la longueur de recouvrement, à savoir Nrecouv, soit égale au maximum de fluctuation de tempo du joueur de flûte débutant

le nombre de points de la FFT Nfft, soit tel, que la finesse d’analyse permette de différencier les 5 notes

Etude fréquentielle du signal :

Après ces deux études, on est prêt à calculer un premier spectrogramme du signal. On obtient des résultats satisfaisants avec les paramètres spécifiés sur la figure ci-dessous :

On voit bien sur le spectrogramme qu’il y a bien 5 notes de fréquences fondamentales différentes (correspondant aux lignes les plus grises du spectrogramme): 527.6 Hz, 1044 Hz, 872 Hz, 678. 3 Hz et 775.2 Hz.

Grâce à un tableau récapitulatif de la relation entre note et fréquence, trouvé sur internet, et visible ci-dessous, on constate que les fréquences des notes correspondent bien aux notes de la partition :

La première note est un do octave 4, la deuxième un do octave 5, la troisième un la octave 4, la quatrième un fa octave 4 et la cinquième un sol octave 4. On constate sur certaines notes une erreur de fréquence d’au maximum une dizaine de Hertz : cela est dû au niveau du flûtiste, et à l’imperfection de la flûte.

On a des fréquences fondamentales de notes séparées de 90 Hz. Ainsi, pour visualiser les fréquences fondamentales des différentes notes sur la courbe de densité spectrale, il faut une finesse d’analyse inférieure à 90 Hz.

On fait donc pour cela varier les paramètres de la fonction spgramo : spgramo(extrait7,44100,8192,2048,512,80,2);

On retrouve bien les mêmes fréquences des fondamentales que sur le spectrogramme.

3) Caractérisation du filtre à synthétiser

L’enregistrement étant assez bruité, et ce bruit couvrant une grande partie de la bande du signal, on se propose de réaliser un filtrage passe-bas ne conservant que le fondamental de chacune des notes ainsi qu’au maximum son harmonique de rang 2 sans atténuation majeure des fondamentaux de chaque note. L’harmonique de rang 2 d’une note correspond

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