Mathematique Droites orthogonales

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SA1 : CONFIGURATION DE L’ESPACE Situation de départ Activité 0 Lis attentivement le texte de la situation de départ et exprime les idées sur chacun des problèmes posés. Séquence1 : Droites orthogonales droites et plans orthogonaux.

Activité1(droites orthogonales) offi s’intéresse à l’armoire commandée par son tuteur Fako et réalise la configuration d’un compartiment ayant la forme d’un pavé droit (voir figure)

Consignes1 1) Trace en rouge la droite (D1) // (LE) passant par A et la droite (D2) // (IJ) passant par A. 2) Quelle est la position relative de (D1) par rapport à (D2). 3) Définis deux droites orthogonales.

Consigne2 1) Donne un exemple de deux droites orthogonales non perpendiculaires. 2) (D1) et (D2) sont deux droites orthogonales et (D) // (D1). Démontre que (D) est orthogonale à (D2).

Consignes 3 : On considère le dessin de l’armoire. Démontre que les droites (LK) et (JB) sont orthogonales

Activité2 (Droite et plan orthogonaux) Un ami de Coffi s’intéresse à un tiroir de l’armoire commandée par Fako, le tuteur de Coffi. Le dit tiroir à la forme d’un cube (voir figure) et (EACG est un rectangle)

Consigne 1 1)a) Démontre que la droite (EA) est orthogonale aux deux droites sécantes (AD) et (AB) du plan (ABC). b) Déduis-en que (EA) est orthogonale aux droites (AB) et (BC). 2) Quelle est la position relative de la droite (EA) par rapport au plan (ABC). 3) Combien il y a-t-il de droite passant par D et orthogonale à (ABC). Consignes 2 Démontre que la droite (DH) est orthogonale au plan (ABC).

Activité 3 (Plans perpendiculaire)

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En examinant le dessin du tiroir de l’armoire Aline, une fille de 1ere D reconnaît deux plans perpendiculaires mais oublies la définition. Consignes 1 1) Démontre que la droite (GF) est orthogonale au plan (EAB) 2) Les plans (EAB) et (EHG) sont-ils perpendiculaires ? Consignes 2 ABCDEFGH est cube tel que ABFE est dans le plan vertical de face. Démontre que (AED) ┴ (ABG) et (BFH) ┴ (ABC)

Activité4 (Projection orthogonale sur un plan) Cocou, un élève de cette classe de 1ere D s’intéresse au procédé qui, à chaque point M de l’espace associé M’ du plan (ABE) avec la droite passant par M et perpendiculaire au plan (ABE). Jean affirme que ce procédé est une application de l’espace dans lui-même et qu’il existe des points M tels que M et M’ soient confondus. Consigne1 : On désigne par p le procédé qui a intéressé Cocou 1) Détermine p(H), p(D), p(C), p(F), p(A), p(E). 2) Justifie que p est une application dont on précisera. Consigne2 On considère le pavé droit 1) Détermine l’image par la projection orthogonale p sur le plan (BCD) de : [HG], [GC] et [AG]. 2) Que constatez-vous ?

Activité5 (Projection orthogonale sur une droite).

Afia affirme qu’en remplaçant le plan (ABE) par la droite (JK) et en considérant le procédé décrit dans l’activité 4, on définit ainsi une application q. Consigne 1) Définis cette application 2) Détermine les images par q des points J , K , E , A ,B , L et I 3) Trouve les images par q de [EL] ; [BI] ;[AJ] ;[LJ] et [LB] 4) Trouve le projeté T’ du milieu T du segment [AL]. 5) Détermine l’ensemble des points invariants par q.

Séquence 2 Vecteurs de l’espace Activité6 On note W l’ensemble des vecteurs de l’espace On considère le dessin ci-contre qui est une partie de l’armoire

consigne1 1) Définis un vecteur de l’espace (E) 2) Détermine les caractéristiques du vecteur
  3) construire le point P tel que AP =2AB +AE 4) Construire IJ + JK. En déduire que IJ +JK = IK, comment appelle-t-on cette relation.

Consigne2 Tu considères le dessein de l’armoire

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1) Ecris le vecteur NJ en fonction de AE. Que peux-tu dire de ces deux vecteurs 2) a)Ecris le vecteur IN en fonction des vecteurs AB et AE b) Justifie que le vecteur IN est une combinaison linéaire des vecteurs AB et AE. c) Justifie que IN, AB et AE sont coplanaires.

Activité 7 On considère un cube ABCDEFGH. On pose
 = ,
  =  ,
 =

  Consigne 1) Examine, si dans chacun des cas ci-dessous, les vecteurs énumérés sont coplanaires : a)
  ,   et 

 ;
  ,   ,  2) Justifie que le triplet (,  ,

  ) est formé de vecteurs non coplanaires.

Activité8 Construis un cube ABCDEFGH d’arête 4cm avec le code (45° ; ) .1) Démontre que (A, B, D, E) est un repère. 2) Détermine les coordonnées de tous les sommets dans ce repère. 3) Construis le point P tel que BP = DC + FE +   AE.

SA2 : ORGANISATION DES DONNEES Séquence 1 : Equation et inéquations dans R – Systèmes linéaires Activité 1 Melon s’entraine au tir avant le texte. Il désire choisir x afin de construire un second carré concentrique de côté C(x) représenté comme suit.

1)Détermine en fonction de x l’expression C2 (x), longueur du côté [HE]. 2)Comment appelle-t-on ce polynôme C2(x). 3Donner deux exemple d’un polynôme du second degré b) En déduire la forme générale d’un polynôme du second degré.

Activité 2 : Soit P(x) = ax2+bx+c, a ≠0, (b, c) € R2, un polynôme du second degré. Consigne1 1)Ecrire P(x) sous forme canonique. 2)On pose Δ = b2 – 4ac (le réel Δ s’appelle discriminant de P(x). a)Déterminer suivant le signe Δ et lorsque cela est possible une factorisation de P(x)

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b) En déduire lorsque cela est possible les solutions de l’équation (E) : P(x) =0

Consigne2 Résoudre dans R, les équations du second degré : a) 3x2 + x-2 = 0 ; b) –x2 + 2x+1=0 ; c) x2+6x+10=0 ; d) 9x2 + 6x +1

Activité 3 (somme et produit des racines) On considère une équation du second degré (E) : ax2+bx+c=0 admettant deux racines réelles distincts x1 et x2, on pose : S=x1+x2 et P =x1+x2

Consigne 1) Calcule x1 et x2 en fonction de a, b et Δ. 2) Justifie que S=−  et P =   Activité4 On considère l’équation définie par (E) : x4- 4x2+3=0 Consigne 1)a)En effectuant le changement d’inconnue x2=x, écris la nouvelle

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