Le système binaire

Le système binaire le plus courant est l'équivalent en base deux de la numération de position que nous utilisons en base dix dans la vie courante.

Dans ce type de codage, chaque nombre est représenté de façon unique par une suite ordonnée de chiffres. Et chaque chiffre représente une puissance de la base. Si on se limite dans un premier temps aux nombres entiers positifs, en base dix ces puissances sont : un (1), dix (représenté par 10), cent (dix fois dix, représenté par 100), mille (dix fois cent, représenté par 1000), dix mille etc. En base deux, ces puissances sont : un (1), deux (représenté lui aussi par 10), quatre (deux fois deux, représenté par 100), huit (deux fois quatre, représenté par 1000), seize (deux fois huit, représenté par 10000) etc.

On voit que la signification des représentations 10, 100, 1000, etc. dépend de la base utilisée : 10 est toujours égale à la base, c'est-à-dire dix en base dix, mais deux en base deux1

En base dix, on a besoin de dix chiffres, de zéro à neuf ; en base n, on a besoin de n chiffres, de zéro à n-1 ; et donc en base deux, on a besoin de deux chiffres : zéro et un.

Un nombre qui s'exprime en base B par les quatre chiffres 1101 s'analyse :

1*B^{3}+1*B^{2}+0*B^{1}+1*B^{0}, qui donne :

1101 en base B = 10 : 1*10^{3} +1*10^{2} +0*10^{1} +1*10^{0} =1101

1101 en base B = 8 : 1*8^{3} +1*8^{2} +0*8^{1} +1*8^{0} =577

1101 en base B = 2 : 1*2^{3} +1*2^{2} +0*2^{1} +1*2^{0} =13

Énumération des premiers nombres[modifier | modifier le code]

Les premiers nombres, et chiffres de la base de numération 10, s'écrivent :

décimal binaire commentaire

0 0 zéro

1 1 un = base puissance zéro (valable pour toutes les bases, donc deux et dix)

2 10 deux = deux puissance un (un zéro derrière le 1)

3 11

4 100 quatre = deux puissance deux (deux zéro derrière le 1)

5 101

6 110

7 111

8 1000 huit = deux puissance trois (trois zéro derrière le 1)

9 1001

Opérations[modifier | modifier le code]

Les techniques des quatre opérations de base (addition, soustraction, multiplication et division) restent exactement les mêmes qu'en notation décimale, elles sont juste simplifiées de façon drastique parce qu'il n'y a que deux chiffres (zéro et un). Pour la multiplication par exemple, quelle que soit la base, la multiplication par 10 (c’est-à-dire par la base elle-même)2 se fait en ajoutant un zéro à droite.

Seules changent d'une part la forme de la suite de chiffres qui exprime le résultat (elle ne compte que des zéros et un), d'autre part la signification de cette suite (10 signifie « deux » et non « dix », 100 signifie « quatre »

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